Freşe və Qato törəmələri arasında əlaqə

$\newcommand{\bbR}{\mathbb{R}}$

Zəif orta qiymət teoremi

Ədədi funksiyalar üçün doğru olan orta qiymət teoremi normalı fəzalar arasında təsir edən inikaslar üçün doğru deyil. Məsələn, hər bir nöqtədə Freşe (və deməli, həm də Qato) mənada diferensiallanan
$$\bbR \ni t \mapsto (\cos t, \sin t) \in \bbR^2$$
inikası $[0, 2\pi]$ parçasının uclarında eyni qiymət alır, lakin onun törəməsi heç bir nöqtədə sıfra çevrilmir. Buna baxmayaraq, həmin teoremin bir qədər zəif forması ümumi halda inikaslar üçün də doğru olur.

Teorem. Tutaq ki, $X$, $Y$ normalı fəzalardır, $U \subset X$ açıq çoxluqdur və $F \colon U \to Y$ inikasdır. Əgər $[x, x+h] \subset U$ parçasının bütün nöqtələrində $F$ inikası Qato mənada diferensiallanırsa, onda
$$\|F(x+h) - F(x)\| \le \sup_{0 \le \theta \le 1} \|F'_w(x + \theta h)\| \|h\|.$$
İsbatı. Han–Banax teoreminə əsasən, elə $\varphi \in Y^{*}$ tapmaq olar ki, $\|\varphi\| = 1$ və
$$\varphi(F(x+h) - F(x)) = \|F(x+h) - F(x)\|$$
olsun. Onda
$$f(t) := \varphi(F(x + th))$$
qəbul edib,
$$\frac{f(t + \Delta t) - f(t)}{\Delta t} = \varphi \left( \frac{F(x + th + \Delta t h) - f(x + th)}{\Delta t} \right)$$
bərabərliyində $\Delta t \to 0$ olduqda limitə keçsək,
$$f'(t) := \varphi(F'_w(x + th) h)$$
olduğunu alarıq. Ədədi $f(t)$ funksiyası $[0,1]$ parçasının bütün nöqtələrində diferensiallandığı üçün elə $\theta \in (0,1)$ var ki,
$$f(1) - f(0) = f'(\theta).$$
Ona görə də,
\begin{multline*} \|F(x+h) - F(x)\| = \\ = \varphi(F(x+h) - F(x)) = f(1) - f(0) = f'(\theta) = \varphi(F'_w(x + \theta h) h) \le \\ \le \sup_{0 \le \theta \le 1} \|F'_w(x + \theta h)\| \|h\|. \end{multline*}
$\square$

Freşe və Qato törəmələri arasında əlaqə

Teorem. Əgər $F$ inikası $x_0$ nöqtəsinin müəyyən ətrafında Qato mənada diferensiallanırsa və onun $F'_w(x)$ Qato törəməsi $x_0$ nöqtəsində kəsilməzdirsə, onda $F$ inikası həmin nöqtədə Freşe mənada da diferensiallanır və $F'(x_0) = F'_w(x_0)$.
İsbatı. Qato törəməsinin kəsilməz olması şərtinə əsasən, istənilən $\varepsilon > 0$ ədədi üçün elə $\delta > 0$ tapmaq olar ki, $\|h\| < \delta$ olduqda
$$\|F'_w(x_0 + h) - F'_w(x_0)\| \le \varepsilon$$
olsun. Onda
$$u \mapsto F(u) - F'_w(x_0) u$$
inikasına zəif orta qiymət teoremini tətbiq etsək
$$\|F(x_0+h) - F(x_0) - F'_w(x_0) h \| \le \sup_{0 \le \theta \le 1} \|F'_w(x_0 + \theta h) - F'_w(x_0)\| \|h\| \le \varepsilon \|h\|$$
bərabərsizliyini alarıq. Bu isə o deməkdir ki, $F'(x_0)$ var və $F'_w(x_0)$ xətti operatoruna bərabərdir.
$\square$