Volterra tipli inteqral tənliyin həllinin varlığı və yeganəliyi

$\newcommand{\bbN}{\mathbb{N}}$

Volterra tipli ikinci növ inteqral tənliyə baxaq:
$$f(x) - \int_a^x K(x,t)f(t)dt = \varphi(x), \quad x \in [a,b],$$
burada $K(x,t)$ nüvəsi $[a,b] \times [a,b]$ kvadratında, $\varphi(x)$ isə $[a,b]$ parçasında kəsilməz funksiyalardır. Bu tənliyi
$$f(x) = \int_a^x K(x,t)f(t)dt + \varphi(x), \quad x \in [a,b],$$
şəklində yazdıqdan sonra $C[a,b]$ metrik fəzasında təsir edən
$$Af(x) := \int_a^x K(x,t)f(t)dt + \varphi(x)$$
inikası təyin etsək görərik ki, inteqral tənliyin həlləri $A$ operatorunun tərpənməz nöqtələri ilə üst-üstə düşür.

İxtiyari $f$, $g \in C[a,b]$ funksiyaları və $x \in [a,b]$ nöqtəsi üçün yaza bilərik:
$$|Af(x) - Ag(x)| = \left| \int_a^x K(x,t)(f(t)-g(t))dt \right| \le M (x-a) \|f-g\|_{C[a,b]},$$
burada
$$M := \max_{\substack{x \in [a,b] \\ t \in [a,b]}} |K(x,t)|.$$
Eyni qayda ilə,
$$|A^2 f(x) - A^2 g(x)| = \left| \int_a^x K(x,t)(Af(t)-Ag(t))dt \right| \le M^2 \frac{(x-a)^2}{2} \|f-g\|_{C[a,b]}$$
və ümumiyyətlə hər bir $n \in \bbN$ üçün
$$|A^n f(x) - A^n g(x)| = \left| \int_a^x K(x,t)(A^{n-1}f(t)-A^{n-1}g(t))dt \right| \le M^n \frac{(x-a)^n}{n!} \|f-g\|_{C[a,b]}.$$
Bu bərabərsizlikdən çıxır ki,
$$\|A^n f - A^n g\|_{C[a,b]} \le \frac{(M(b-a))^n}{n!} \|f-g\|_{C[a,b]}.$$
Onda
$$\lim_{n \to \infty} \frac{(M(b-a))^n}{n!} = 0$$
olduğu üçün elə $n \in \bbN$ tapa bilərik ki,
$$\frac{(M(b-a))^n}{n!} < 1$$
şərti ödənsin, başqa sözlə desək, $A^n$ sıxan inikas olsun. Sıxan inikas prinsipindən çıxan nəticəyə əsasən $A$ inikasının yeganə tərpənməz nöqtəsi var. Başqa sözlə desək, Volterra tipli ikinci növ inteqral tənliyin həlli var və bu həll yeganədir.