Simmetrik operatorlar
Təyin oblastı H Hilbert fəzasında hər yerdə sıx olan və T⊂T∗, yəni
⟨Tx,y⟩=⟨x,Ty⟩,x,y∈D(T)
şərtini ödəyən T xətti operatoru simmetrik operator adlanır.
Hər bir qoşma operator qapalı olduğu üçün hər bir simmetrik operator qapanabilən operatordur.
Teorem. (Hellinqer–Töplits) Bütün H fəzasında təyin olunmuş simmetrik operator məhduddur.
İsbatı. Əksini fərz edək. Tutaq ki, bütün H fəzasında təyin olunmuş T simmetrik operatoru qeyri-məhduddur. Onda elə yn∈H ardıcıllığı tapmaq olar ki,
‖
\frH fəzasında
f_n(x) := \langle Tx, y_n \rangle = \langle x, Ty_n \rangle, \quad n = 1, 2, \ldots
xətti məhdud funksionallar ardıcıllığına baxaq. Hər bir qeyd olunmuş x \in \frH elementi üçün f_n(x) ardıcıllığı məhduddur. Onda Banax–Şteynhaus teoreminə görə \|f_n\| ardıcıllığı, yəni \|Ty_n\| ardıcıllığı da məhdud olmalıdır. Ziddiyyət aldıq.
\square
Teorem. Simmetrik operatorun məxsusi ədədləri həqiqidir, müxtəlif məxsusi ədədlərə uyğun məxsusi vektorları isə bir-birinə ortoqonaldır.
İsbatı. Tutaq ki,
Tx = \lambda x, \quad x \ne 0.
Onda
\lambda \langle x, x \rangle = \langle Tx, x \rangle = \langle x, Tx \rangle = \overline{\lambda} \langle x, x \rangle
bərabərliyindən \lambda = \overline{\lambda}, yəni \lambda ədədinin həqiqi olması alınır.
İndi isə \lambda_1 \ne \lambda_2 həqiqi ədədləri üçün
Tx_1 = \lambda_1 x_1, \quad Tx_2 = \lambda_2 x_2
olsun. Onda
\lambda_1 \langle x_1, x_2 \rangle = \langle Tx_1, x_2 \rangle = \langle x_1, Tx_2 \rangle = \lambda_2 \langle x_1, x_2 \rangle
bərabərliyində \lambda_1 \ne \lambda_2 olduğu üçün
\langle x_1, x_2 \rangle = 0.
\square