Processing math: 20%
Now you are in the subtree of Математический анализ project. 

2. Топологическая классификация точек множеств

Определение 2.1. Пусть xR,ε>0.

  1. Bε(x)={yR:|yx|<ε} — ε окрестность точки x.

  2. Bε(x)=Bε(x)=Bε(x){x}={yR:0<|yx|<ε} — проколотая ε окрестность точки x.

Замечание. В дальнейшем, говоря об ε-окрестности, будем считать, что ε>0.

По отношению к множеству E любая точка является точкой одного из следующих типов.

Определение 2.2.

  1. Точка x называется внутренней точкой ER, если ε>0:Bε(x)E.

    intE — множество всех внутренних точек.

  2. Точка x называется внешней точкой ER, если ε>0:Bε(x)RE.

    extE — множество всех внешних точек.

  3. Точка x называется граничной точкой ER, если ε>0:Bε(x)E и

    Bε(x)RE.

    E — множество всех граничных точек.

Замечание. Из определения непосредственно вытекает, что extE=int(RE), intEE.

Определение 2.3. Множество ER называется открытым, если все его точки внутренние (т.е. EintE).

Определение 2.4. Множество ER называется замкнутым, если RE — открыто.

Теорема 2.1.

  1. a) Gλ,λΛ — открытые множества λΛGλ — открытое множество.

    b) G1,,Gn — открытые множества nk=1Gk — открытое множество.

  2. a) Fλ,λΛ — замкнутые множества λΛFλ — замкнутое множество.

    b) F1,,Fn — замкнутые множества nk=1Fk — замкнутое множество.

 1.а) xλΛGλλ0Λ:xG0. G0 — открыто Bε(x)Gλ0λΛGλ, т.е. x — внутренняя точка λΛGλλΛGλ — открытое.

1.б) xnk=1GkxGk k=1,,n. Gk — открыто Bεk(x)Gk,k=1,,n. Положим ε=min B_\varepsilon (x) \subset \bigcap \limits _{k=1}^{\smash {n}} G_ k, т.е. x — внутрення точка \bigcap \limits _{k=1}^{\smash {n}} G_ k \Rightarrow \bigcap \limits _{k=1}^{\smash {n}} G_ k — открыто.

2.а) \mathbb {R}\backslash (\bigcap \limits _{\lambda \in \Lambda } F_\lambda ) = \bigcup \limits _{\lambda \in \Lambda } (\mathbb {R}\backslash F_\lambda ) — открытое \Rightarrow \bigcap \limits _{\lambda \in \Lambda } F_\lambda  — замкнутое.

2.б) \mathbb {R}\backslash (\bigcup \limits _{k=1}^ n F_ k) = \bigcap \limits _{k=1}^ n (\mathbb {R}\backslash F_ k) — открытое \Rightarrow \bigcup \limits _{k=1}^ n F_ k — замкнутое. \blacksquare

Замечание. Пересечение произвольного числа открытых множеств и не быть открытым множеством.

Пример: \bigcap \limits _{n=1}^\infty \left( -\frac1n, \frac1n \right) = \{ 0\} .

Определение 2.5. Число элементов множества A равно единице, если \exists a\in A\colon A \backslash \{ a\} = \varnothing .

Пусть определено, что число элементов множества равно n, тогда по определению число элементов множества A равно n+1, если \exists a\in A\colon A\backslash \{ a\} имеет n элементов.

Определение 2.6. Множество A называют конечным, если либо A = \varnothing , либо \exists n\in \mathbb {N}\colon A имеет n элементов. В противном случае множество называется бесконечным.

Определение 2.7. Точка x называется предельной точкой множества E \subset \mathbb {R}, если
\forall \varepsilon > 0\colon B_\varepsilon ’ (x) \cap E \neq \varnothing .

Лемма 2.1. x — предельная точка множества E \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\colon B_\varepsilon (x) \cap E — бесконечное множество.

\blacktriangle  (\Rightarrow ) Пусть точка x — предельная точка E. \forall \varepsilon >0\colon B_\varepsilon ’(x)\cap E — конечно \Rightarrow

B_\varepsilon ’(x)\cap E = \{ x_1, \ldots , x_ n\} . \delta := \min \{ |x-x_ i|\} > 0. Рассмотрим B_\delta ’(x)\cap E=\varnothing .!!!

(\Leftarrow ) \forall \varepsilon >0\colon B_\varepsilon (x)\cap E — бесконечное множество \Rightarrow B_\varepsilon ’(x)\cap E \neq \varnothing . \blacksquare

Теорема 2.2. Следующие критерии замкнутости эквивалентны:

  1. E — замкнуто.

  2. E содержит все свои граничные точки.

  3. E содержит все свои предельные точки.

\blacktriangle  (1\Rightarrow 2) Пусть x\in \mathbb {R}\backslash E \Rightarrow \exists B_\varepsilon (x)\subset \mathbb {R}\backslash E \Rightarrow x\in \mathop {\mathrm{ext}} E \Rightarrow x\notin \partial E \Rightarrow \partial E\subset E.

(2\Rightarrow 3) x — предельная точка E \Rightarrow x\notin \mathop {\mathrm{ext}}\ E. Тогда либо x\in \mathop {\mathrm{int}}\ E \Rightarrow x\in E, либо x\in \partial E \Rightarrow x\in E.

(3\Rightarrow 1) x\in \mathbb {R}\backslash E \Rightarrow x — не предельная точка E \Rightarrow \exists \varepsilon >0\colon B_\varepsilon ’(x)\cap E = \varnothing \Rightarrow B_\varepsilon (x)\cap E = \varnothing \Rightarrow B_\varepsilon (x)\subset \mathbb {R}\backslash E \Rightarrow \mathbb {R}\backslash E — открыто \Rightarrow E — замкнуто. \blacksquare

Теорема 2.3. Любое непустое замкнутое ограниченное сверху (или снизу) множество имеет максимальный (или минимальный) элемент.

\blacktriangle  Пусть F — непустое замкнутое ограниченное сверху множество. S = \sup F. Покажем, что S = \max F, тогда осталось доказать, что S \in F. Т.к. S = \sup F, то \forall \varepsilon > 0\ \exists x’ \in F\colon x’ \in (S-\varepsilon , S], т.е. (S-\varepsilon , S] \cap F \not= \varnothing .

Имеется две возможности:

  1. \forall \varepsilon > 0\ (S - \varepsilon , S) \cap F \not= \varnothing \Rightarrow B_\varepsilon ’(S) \cap F \not= \varnothing \Rightarrow S — предельная точка F \Rightarrow S \in F (по Т2).

  2. \exists \varepsilon > 0\ (S - \varepsilon , S) \cap F = \varnothing \Rightarrow S \in F. \blacksquare

Определение 2.8. 1) Система \{ G_\lambda \colon \lambda \in \Lambda \} называется покрытием множества E, если
\bigcup \limits _{\lambda \in \Lambda } G_\lambda \supset E.

2) \forall \lambda \in \Lambda \ G_\lambda  — открытое, то покрытие \{ G_\lambda \colon \lambda \in \Lambda \} называют открытым.

Теорема 2.4 (Гейне Борель). \{ G_\lambda \colon \lambda \in \Lambda \}  — открытое покрытие [a, b] \Rightarrow \exists \lambda _1, \ldots , \lambda _ n \in \Lambda , G_{\lambda _1} \cup \ldots \cup G_{\lambda _ n} \supset [a, b].

\blacktriangle  Предположим, что из открытого покрытия \{ G_\lambda \colon \lambda \in \Lambda \} отрезка [a, b], нельзя выбрать конечной подпоследовательности таких покрытий [a, b].

Положим, [a_1, b_1] = [a, b], поделим [a_1, b_1] пополам. Тогда хотя бы один из [a_1, \frac{a_1 + b_1}{2}], [\frac{a_1 + b_1}{2}, b_1] нельзя покрыть конечным числом G_\lambda . Обозначим этот отрезок [a_2, b_2], тогда хотя бы одну из его половин нельзя покрыть конечным числом G_\lambda , обозначим его за [a_3, b_3].

Продолжим процесс \{ [a_ n, b_ n]\} _{n=1}^\infty \colon

  1. \forall n\in \mathbb {N}\colon [a_ n, b_ n] \supset [a_{n+1}, b_{n+1}].

  2. Ни один из [a_ n, b_ n] нельзя покрыть конечным числом G_\lambda .

  3. \forall n \in N, b_ n - a_ n = \frac{b - a}{2^{n-1}}, т.е \{ [a_ n, b_ n]\} _{n=1}^\infty  — стягивающаяся. По принципу вложенных отрезков \exists c \in \bigcap \limits _{n=1}^\infty [a_ n, b_ n], c\in [a_1, b_1]\subset \bigcup \limits _{\lambda \in \Lambda } G_\lambda , c \in \bigcup \limits _{\lambda \in \Lambda } G_\lambda \Rightarrow \exists \lambda _0 \in \Lambda \colon c \in G_{\lambda _0}, но G_{\lambda _0} — открытое множество \Rightarrow \exists \varepsilon > 0\ B_\varepsilon (c) \subset G_{\lambda _0}, т.к. \{ [a_ n, b_ n]\} _{n=1}^\infty  — стягивающаяся, то \exists k \in N, b_ k - a_ k < \varepsilon . Итак c \in [a_ k, b_ k], b_ k-a_ k < \varepsilon \Rightarrow [a_ k, b_ k] \subset B_\varepsilon (c) \Rightarrow [a_ k, b_ k] \subset G_{\lambda _0}, то есть [a_ k, b_ k] — покрыт одним элементом G_{\lambda _0} покрытия, получаем противоречие. \blacksquare

Следствие:

F — замкнутое ограниченное множество. \{ G_\lambda \colon \lambda \in \Lambda \}  — открытое покрытие F \Rightarrow
\exists \lambda _1, \ldots , \lambda _ n \in \Lambda, G_{\lambda _1}\cup \ldots \cup G_{\lambda _ n} \supset F.

\blacktriangle  F — замкнутое множество \Rightarrow \exists [m, M]\colon [m, M] \supset F. Пусть A = \{ G_\lambda \colon \lambda \in \Lambda \}  — открытое покрытие F.

A’ = \{ G_\lambda , \lambda \in \Lambda \} \cup \{ \mathbb {R}\backslash F\} \colon \bigcup \limits _{\lambda \in \Lambda } G_\lambda \cup (\mathbb {R}\backslash F) \supset F \cup (\mathbb {R}\backslash F) \supset \mathbb {R}.

По Т4. \exists A” \subset A’ — конечное покрытие [m, M].

Имеется 2 возможности:

  1. \mathbb {R}\backslash F \not\in A” = \{ G_{\lambda _1}, \ldots , G_{\lambda _ n}\} , \bigcup \limits _{i=1}^ n G_{\lambda _ i} \supset [m, M] \supset F

  2. \mathbb {R}\backslash F \in A” \Rightarrow A” \backslash \{ \mathbb {R}\backslash F\} = \{ G_{\lambda _1}, \ldots , G_{\lambda _ n}\} . \bigcup \limits _{i=1}^ n G_{\lambda _ i} \supset [m, M] \backslash (\mathbb {R}\backslash F) = F. \blacksquare

Теорема 2.5 (О существовании предельной точки). Любое бесконечное ограниченное множество имеет хотя бы одну предельную точку.

\blacktriangle  Пусть E — бесконечное ограниченное множество. Приведем два различных доказательства.

Доказательство 1. От противного:

Предположим, E не имеет предельной точки. \varnothing \subset E \Rightarrow E — замкнутое множество.

Если x \in E \Rightarrow x — не является предельной точкой для E \Rightarrow \exists \varepsilon _ x > 0\colon B_{\varepsilon _ x}’(x) \cap E= \varnothing , значит B_{\varepsilon _ x}(x) \cap E = \{ x\} .

Рассмотрим \{ B_{\varepsilon _ x}(x)\colon x \in E\}  — открытое покрытие E \Rightarrow \exists x_1, \ldots , x_ n \in E\colon \bigcup \limits _{k=1}^ n B_{\varepsilon _{x_ k}}(x) \supset E, но из каждого B_{\varepsilon _{x_ k}}(x) только 1 точка содержится в E \Rightarrow  E — конечное. !!!

Доказательство 2.

E — ограниченное множество \Rightarrow  \exists [a_1, b_1] \supset E. Разделим [a_1, b_1] пополам, тогда хотя бы один из отрезков [a_1, \frac{a_1 + b_1}{2}], [\frac{a_1 + b_1}{2}, b_1] содержит бесконечно много элементов из E, обозначим его за [a_2, b_2], разделим [a_2, b_2] пополам и обозначим через [a_3, b_3] тот отрезок, в котором бесконечно много чисел из E. Будем продолжать и тогда получим \{ [a_ n, b_ n]\} _{n=1}^\infty .

1) \forall n\in \mathbb {N}\colon [a_ n, b_ n] \supset [a_{n+1}, b_{n+1}].

2) \forall n\in \mathbb {N}\colon [a_ n, b_ n] \cap E — бесконечное множество.

3) \forall n \in \mathbb {N}, b_ n - a_ n = \frac{b - a}{2^{n-1}}.

По принципу вложенных отрезков (Т1.4) \exists c \in \bigcap \limits _{k=1}^\infty [a_ k, b_ k].

Покажем, что c — предельная точка E, возьмем \varepsilon > 0. Т.к. \{ [a_ n, b_ n]\} _{n=1}^\infty  — стягивающаяся, то \exists k\in \mathbb {N}, b_ n - a_ n < \varepsilon .

Итак, c \in [a_ k, b_ k], b_ k - a_ k < e \Rightarrow \lbrack a_ k, b_ k] \subset B_\varepsilon (c) \stackrel{\mbox{П.2}}{\Rightarrow } B_\varepsilon (c) \cap E — бесконечное множество \stackrel{\mbox{Л.1}}{\Rightarrow } c — предельная точка E. !!! \blacksquare