2. Топологическая классификация точек множеств
Определение 2.1. Пусть x∈R,ε>0.
Bε(x)={y∈R:|y−x|<ε} — ε окрестность точки x.
B∘ε(x)=B′ε(x)=Bε(x)∖{x}={y∈R:0<|y−x|<ε} — проколотая ε окрестность точки x.
Замечание. В дальнейшем, говоря об ε-окрестности, будем считать, что ε>0.
По отношению к множеству E любая точка является точкой одного из следующих типов.
Определение 2.2.
-
Точка x называется внутренней точкой E⊂R, если ∃ε>0:Bε(x)⊂E.
intE — множество всех внутренних точек.
-
Точка x называется внешней точкой E⊂R, если ∃ε>0:Bε(x)⊂R∖E.
extE — множество всех внешних точек.
-
Точка x называется граничной точкой E⊂R, если ∀ε>0:Bε(x)∩E≠∅ и
Bε(x)∩R∖E≠∅.
∂E — множество всех граничных точек.
Замечание. Из определения непосредственно вытекает, что extE=int(R∖E), intE⊂E.
Определение 2.3. Множество E⊂R называется открытым, если все его точки внутренние (т.е. E⊂intE).
Определение 2.4. Множество E⊂R называется замкнутым, если R∖E — открыто.
Теорема 2.1.
-
a) Gλ,λ∈Λ — открытые множества ⇒⋃λ∈ΛGλ — открытое множество.
b) G1,…,Gn — открытые множества ⇒n⋂k=1Gk — открытое множество.
-
a) Fλ,λ∈Λ — замкнутые множества ⇒⋂λ∈ΛFλ — замкнутое множество.
b) F1,…,Fn — замкнутые множества ⇒n⋃k=1Fk — замкнутое множество.
▴ 1.а) x∈⋃λ∈ΛGλ⇒∃λ0∈Λ:x∈G0. G0 — открыто ⇒∃Bε(x)⊂Gλ0⊂⋃λ∈ΛGλ, т.е. x — внутренняя точка ⋃λ∈ΛGλ⇒⋃λ∈ΛGλ — открытое.
1.б) x∈n⋂k=1Gk⇒x∈Gk ∀k=1,…,n. Gk — открыто ⇒∃Bεk(x)⊂Gk,k=1,…,n. Положим ε=min B_\varepsilon (x) \subset \bigcap \limits _{k=1}^{\smash {n}} G_ k, т.е. x — внутрення точка \bigcap \limits _{k=1}^{\smash {n}} G_ k \Rightarrow \bigcap \limits _{k=1}^{\smash {n}} G_ k — открыто.
2.а) \mathbb {R}\backslash (\bigcap \limits _{\lambda \in \Lambda } F_\lambda ) = \bigcup \limits _{\lambda \in \Lambda } (\mathbb {R}\backslash F_\lambda ) — открытое \Rightarrow \bigcap \limits _{\lambda \in \Lambda } F_\lambda — замкнутое.
2.б) \mathbb {R}\backslash (\bigcup \limits _{k=1}^ n F_ k) = \bigcap \limits _{k=1}^ n (\mathbb {R}\backslash F_ k) — открытое \Rightarrow \bigcup \limits _{k=1}^ n F_ k — замкнутое. \blacksquare
Замечание. Пересечение произвольного числа открытых множеств и не быть открытым множеством.
Пример: \bigcap \limits _{n=1}^\infty \left( -\frac1n, \frac1n \right) = \{ 0\} .
Определение 2.5. Число элементов множества A равно единице, если \exists a\in A\colon A \backslash \{ a\} = \varnothing .
Пусть определено, что число элементов множества равно n, тогда по определению число элементов множества A равно n+1, если \exists a\in A\colon A\backslash \{ a\} имеет n элементов.
Определение 2.6. Множество A называют конечным, если либо A = \varnothing , либо \exists n\in \mathbb {N}\colon A имеет n элементов. В противном случае множество называется бесконечным.
Определение 2.7. Точка x называется предельной точкой множества E \subset \mathbb {R}, если
\forall \varepsilon > 0\colon B_\varepsilon ’ (x) \cap E \neq \varnothing .
Лемма 2.1. x — предельная точка множества E \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\colon B_\varepsilon (x) \cap E — бесконечное множество.
\blacktriangle (\Rightarrow ) Пусть точка x — предельная точка E. \forall \varepsilon >0\colon B_\varepsilon ’(x)\cap E — конечно \Rightarrow
B_\varepsilon ’(x)\cap E = \{ x_1, \ldots , x_ n\} . \delta := \min \{ |x-x_ i|\} > 0. Рассмотрим B_\delta ’(x)\cap E=\varnothing .!!!
(\Leftarrow ) \forall \varepsilon >0\colon B_\varepsilon (x)\cap E — бесконечное множество \Rightarrow B_\varepsilon ’(x)\cap E \neq \varnothing . \blacksquare
Теорема 2.2. Следующие критерии замкнутости эквивалентны:
E — замкнуто.
E содержит все свои граничные точки.
E содержит все свои предельные точки.
\blacktriangle (1\Rightarrow 2) Пусть x\in \mathbb {R}\backslash E \Rightarrow \exists B_\varepsilon (x)\subset \mathbb {R}\backslash E \Rightarrow x\in \mathop {\mathrm{ext}} E \Rightarrow x\notin \partial E \Rightarrow \partial E\subset E.
(2\Rightarrow 3) x — предельная точка E \Rightarrow x\notin \mathop {\mathrm{ext}}\ E. Тогда либо x\in \mathop {\mathrm{int}}\ E \Rightarrow x\in E, либо x\in \partial E \Rightarrow x\in E.
(3\Rightarrow 1) x\in \mathbb {R}\backslash E \Rightarrow x — не предельная точка E \Rightarrow \exists \varepsilon >0\colon B_\varepsilon ’(x)\cap E = \varnothing \Rightarrow B_\varepsilon (x)\cap E = \varnothing \Rightarrow B_\varepsilon (x)\subset \mathbb {R}\backslash E \Rightarrow \mathbb {R}\backslash E — открыто \Rightarrow E — замкнуто. \blacksquare
Теорема 2.3. Любое непустое замкнутое ограниченное сверху (или снизу) множество имеет максимальный (или минимальный) элемент.
\blacktriangle Пусть F — непустое замкнутое ограниченное сверху множество. S = \sup F. Покажем, что S = \max F, тогда осталось доказать, что S \in F. Т.к. S = \sup F, то \forall \varepsilon > 0\ \exists x’ \in F\colon x’ \in (S-\varepsilon , S], т.е. (S-\varepsilon , S] \cap F \not= \varnothing .
Имеется две возможности:
\forall \varepsilon > 0\ (S - \varepsilon , S) \cap F \not= \varnothing \Rightarrow B_\varepsilon ’(S) \cap F \not= \varnothing \Rightarrow S — предельная точка F \Rightarrow S \in F (по Т2).
\exists \varepsilon > 0\ (S - \varepsilon , S) \cap F = \varnothing \Rightarrow S \in F. \blacksquare
Определение 2.8. 1) Система \{ G_\lambda \colon \lambda \in \Lambda \} называется покрытием множества E, если
\bigcup \limits _{\lambda \in \Lambda } G_\lambda \supset E.
2) \forall \lambda \in \Lambda \ G_\lambda — открытое, то покрытие \{ G_\lambda \colon \lambda \in \Lambda \} называют открытым.
Теорема 2.4 (Гейне Борель). \{ G_\lambda \colon \lambda \in \Lambda \} — открытое покрытие [a, b] \Rightarrow \exists \lambda _1, \ldots , \lambda _ n \in \Lambda , G_{\lambda _1} \cup \ldots \cup G_{\lambda _ n} \supset [a, b].
\blacktriangle Предположим, что из открытого покрытия \{ G_\lambda \colon \lambda \in \Lambda \} отрезка [a, b], нельзя выбрать конечной подпоследовательности таких покрытий [a, b].
Положим, [a_1, b_1] = [a, b], поделим [a_1, b_1] пополам. Тогда хотя бы один из [a_1, \frac{a_1 + b_1}{2}], [\frac{a_1 + b_1}{2}, b_1] нельзя покрыть конечным числом G_\lambda . Обозначим этот отрезок [a_2, b_2], тогда хотя бы одну из его половин нельзя покрыть конечным числом G_\lambda , обозначим его за [a_3, b_3].
Продолжим процесс \{ [a_ n, b_ n]\} _{n=1}^\infty \colon
\forall n\in \mathbb {N}\colon [a_ n, b_ n] \supset [a_{n+1}, b_{n+1}].
Ни один из [a_ n, b_ n] нельзя покрыть конечным числом G_\lambda .
\forall n \in N, b_ n - a_ n = \frac{b - a}{2^{n-1}}, т.е \{ [a_ n, b_ n]\} _{n=1}^\infty — стягивающаяся. По принципу вложенных отрезков \exists c \in \bigcap \limits _{n=1}^\infty [a_ n, b_ n], c\in [a_1, b_1]\subset \bigcup \limits _{\lambda \in \Lambda } G_\lambda , c \in \bigcup \limits _{\lambda \in \Lambda } G_\lambda \Rightarrow \exists \lambda _0 \in \Lambda \colon c \in G_{\lambda _0}, но G_{\lambda _0} — открытое множество \Rightarrow \exists \varepsilon > 0\ B_\varepsilon (c) \subset G_{\lambda _0}, т.к. \{ [a_ n, b_ n]\} _{n=1}^\infty — стягивающаяся, то \exists k \in N, b_ k - a_ k < \varepsilon . Итак c \in [a_ k, b_ k], b_ k-a_ k < \varepsilon \Rightarrow [a_ k, b_ k] \subset B_\varepsilon (c) \Rightarrow [a_ k, b_ k] \subset G_{\lambda _0}, то есть [a_ k, b_ k] — покрыт одним элементом G_{\lambda _0} покрытия, получаем противоречие. \blacksquare
Следствие:
F — замкнутое ограниченное множество. \{ G_\lambda \colon \lambda \in \Lambda \} — открытое покрытие F \Rightarrow
\exists \lambda _1, \ldots , \lambda _ n \in \Lambda, G_{\lambda _1}\cup \ldots \cup G_{\lambda _ n} \supset F.
\blacktriangle F — замкнутое множество \Rightarrow \exists [m, M]\colon [m, M] \supset F. Пусть A = \{ G_\lambda \colon \lambda \in \Lambda \} — открытое покрытие F.
A’ = \{ G_\lambda , \lambda \in \Lambda \} \cup \{ \mathbb {R}\backslash F\} \colon \bigcup \limits _{\lambda \in \Lambda } G_\lambda \cup (\mathbb {R}\backslash F) \supset F \cup (\mathbb {R}\backslash F) \supset \mathbb {R}.
По Т4. \exists A” \subset A’ — конечное покрытие [m, M].
Имеется 2 возможности:
\mathbb {R}\backslash F \not\in A” = \{ G_{\lambda _1}, \ldots , G_{\lambda _ n}\} , \bigcup \limits _{i=1}^ n G_{\lambda _ i} \supset [m, M] \supset F
\mathbb {R}\backslash F \in A” \Rightarrow A” \backslash \{ \mathbb {R}\backslash F\} = \{ G_{\lambda _1}, \ldots , G_{\lambda _ n}\} . \bigcup \limits _{i=1}^ n G_{\lambda _ i} \supset [m, M] \backslash (\mathbb {R}\backslash F) = F. \blacksquare
Теорема 2.5 (О существовании предельной точки). Любое бесконечное ограниченное множество имеет хотя бы одну предельную точку.
\blacktriangle Пусть E — бесконечное ограниченное множество. Приведем два различных доказательства.
Доказательство 1. От противного:
Предположим, E не имеет предельной точки. \varnothing \subset E \Rightarrow E — замкнутое множество.
Если x \in E \Rightarrow x — не является предельной точкой для E \Rightarrow \exists \varepsilon _ x > 0\colon B_{\varepsilon _ x}’(x) \cap E= \varnothing , значит B_{\varepsilon _ x}(x) \cap E = \{ x\} .
Рассмотрим \{ B_{\varepsilon _ x}(x)\colon x \in E\} — открытое покрытие E \Rightarrow \exists x_1, \ldots , x_ n \in E\colon \bigcup \limits _{k=1}^ n B_{\varepsilon _{x_ k}}(x) \supset E, но из каждого B_{\varepsilon _{x_ k}}(x) только 1 точка содержится в E \Rightarrow E — конечное. !!!
Доказательство 2.
E — ограниченное множество \Rightarrow \exists [a_1, b_1] \supset E. Разделим [a_1, b_1] пополам, тогда хотя бы один из отрезков [a_1, \frac{a_1 + b_1}{2}], [\frac{a_1 + b_1}{2}, b_1] содержит бесконечно много элементов из E, обозначим его за [a_2, b_2], разделим [a_2, b_2] пополам и обозначим через [a_3, b_3] тот отрезок, в котором бесконечно много чисел из E. Будем продолжать и тогда получим \{ [a_ n, b_ n]\} _{n=1}^\infty .
1) \forall n\in \mathbb {N}\colon [a_ n, b_ n] \supset [a_{n+1}, b_{n+1}].
2) \forall n\in \mathbb {N}\colon [a_ n, b_ n] \cap E — бесконечное множество.
3) \forall n \in \mathbb {N}, b_ n - a_ n = \frac{b - a}{2^{n-1}}.
По принципу вложенных отрезков (Т1.4) \exists c \in \bigcap \limits _{k=1}^\infty [a_ k, b_ k].
Покажем, что c — предельная точка E, возьмем \varepsilon > 0. Т.к. \{ [a_ n, b_ n]\} _{n=1}^\infty — стягивающаяся, то \exists k\in \mathbb {N}, b_ n - a_ n < \varepsilon .
Итак, c \in [a_ k, b_ k], b_ k - a_ k < e \Rightarrow \lbrack a_ k, b_ k] \subset B_\varepsilon (c) \stackrel{\mbox{П.2}}{\Rightarrow } B_\varepsilon (c) \cap E — бесконечное множество \stackrel{\mbox{Л.1}}{\Rightarrow } c — предельная точка E. !!! \blacksquare