2.1 Расширенная числовая прямая и её свойства

Определение 2.9. $\overline{\mathbb {R}} = \mathbb {R}\cup \{ -\infty , +\infty \}$ — расширенная числовая прямая. При этом $\forall x \in \mathbb {R}\colon -\infty < x < +\infty$.

Пусть $\varepsilon > 0$.

1. $B_\varepsilon ’(+\infty ) = \{ x \in \mathbb {R}\colon x > \frac1\varepsilon \}$ — проколотая $\varepsilon$ окрестность $+\infty$.

2. $B_\varepsilon (+\infty ) = B_\varepsilon ’(+\infty ) \cup \{ +\infty \}$ — $\varepsilon$ окрестность $+\infty$.

3. $B_\varepsilon ’(-\infty ) = \{ x \in \mathbb {R}\colon x < -\frac1\varepsilon \}$ — проколотая $\varepsilon$ окрестность $-\infty$.

4. $B_\varepsilon (-\infty ) = B_\varepsilon ’(-\infty ) \cup \{ -\infty \}$ — $\varepsilon$ окрестность $-\infty$.

Допустимыми операциями с $\pm \infty$ считаются следующие коммутативные операции:

$+\infty + (+\infty ) = +\infty ,\ \ +\infty - (-\infty ) = +\infty$

$-\infty + (-\infty ) = -\infty ,\ \ -\infty - (+\infty ) = -\infty$

$\forall x \in \mathbb {R}\colon$

$x + (+\infty ) = +\infty ,\ \ x + (-\infty ) = -\infty$

$x - (+\infty ) = -\infty ,\ \ x - (-\infty ) = +\infty$

$+\infty \cdot (+\infty ) = +\infty ,\ \ +\infty \cdot (-\infty ) = -\infty$

$-\infty \cdot (-\infty ) = +\infty ,\ \ -\infty \cdot (+\infty ) = -\infty$

$\forall x \in \mathbb {R}\colon \frac{x}{+\infty } = 0,\ \ \frac{x}{-\infty } = 0$

$\forall x > 0\colon x\cdot (+\infty ) = + \infty ,\ \ x\cdot (-\infty ) = -\infty , \frac{+\infty }{x} = +\infty , \frac{-\infty }{x} = -\infty$

$\forall x < 0\colon x\cdot (+\infty ) = -\infty ,\ \ x\cdot (-\infty ) = +\infty , \frac{+\infty }{x} = -\infty , \frac{-\infty }{x} = +\infty$

Недопустимыми считаются следующие операции:

$+\infty + (-\infty ), +\infty - (+\infty ), -\infty + (+\infty ), -\infty - (-\infty )$

$0 \cdot (\pm \infty ), \pm \infty \cdot 0, \frac{\pm \infty }{\pm \infty }$

Определение 2.10. Утверждение, что для множества $E \subset \mathbb {R}\ \sup E = +\infty$ означает, что $E$ неограниченно сверху. Утверждение, что для множества $E \subset \mathbb {R}\ \inf E = -\infty$ означает, что $E$ неограниченно снизу.

Замечание. Классификация точек множества переносится на $E \subset \overline{\mathbb {R}}$.

Теорема 2.6. Любое бесконечное множество $\overline{\mathbb {R}}$ имеет хотя бы одну предельную точку.

$\blacktriangle$  Пусть $E \subset \overline{\mathbb {R}}$.

Если $E \backslash \{ +\infty \}$ неограниченно сверху, то $\forall \varepsilon >0\colon B_\varepsilon ’(+\infty ) \cap \not= \varnothing \Rightarrow +\infty$  — предельная точка  $E$.

Если $E \backslash \{ -\infty \}$ неограниченно снизу, то $\forall \varepsilon >0\colon B_\varepsilon ’(-\infty ) \cap \not= \varnothing \Rightarrow -\infty$  — предельная точка  $E$.

Если $E \backslash \{ -\infty , +\infty \}$ ограничено сверху и снизу, то имеет предельную точку по Теореме 5. $\blacksquare$