3.3. Монотонные последовательности

Определение 3.14.

1. Последовательность $\{ a_ n\}$ называется нестрого возрастающей (нестрого убывающей), если $\forall n \in \mathbb {N}\colon a_ n \leqslant a_{n+1}\ (a_ n \geqslant a_{n+1})$.

2. Последовательность $\{ a_ n\}$ называется строго возрастающей (строго убывающей), если
   $\forall n \in \mathbb {N}\colon a_ n < a_{n+1}\ (a_ n > a_{n+1})$.

Нестрого возрастающие, нестрого убывающие последовательности называются монотонными.

Теорема 3.9 (О пределе монотонной последовательности). Всякая монотонная последовательность $\{ a_ n\}$ имеет предел, равный для нестрого возрастающей последовательности $\sup \{ a_ n\}$, для нестрого убывающей последовательности $\inf \{ a_ n\}$.

$\blacktriangle$ Пусть $\{ a_ n\}$ нестрого возрастает, $S = \sup \{ a_ n\}$. Покажем, что $\lim \limits _{n\to \infty }a_ n = S$. Возможно два случая:

1. $\{ a_ n\}$ ограничена сверху, $S \in \mathbb {R}$. По определению точной верхней грани имеем:

   $\forall \varepsilon > 0\ \exists N_\varepsilon \in \mathbb {N}\colon a_{N_\varepsilon } > S-\varepsilon$. Тогда в силу возрастания $\{ a_ n\}$ $\forall n > N_\varepsilon \colon S - \varepsilon < a_{N_\varepsilon } \leqslant a_ n \leqslant S$ и, значит, $a_ n\in B_\varepsilon (S) \Rightarrow S = \lim \limits _{n\to \infty }a_ n$.

2. $\{ a_ n\}$ неограничена сверху, $S = +\infty$. Тогда $\forall \varepsilon > 0\ \exists N_\varepsilon \in \mathbb {N}\colon a_{N_\varepsilon } > \frac1\varepsilon$. Отсюда в силу нестрого возрастания $\{ a_ n\}$ $\forall n > N_\varepsilon \colon a_ n \geqslant a_{N_\varepsilon } > \frac1\varepsilon$ и, значит, $a_ n \in B_\varepsilon (+\infty ) \Rightarrow \lim \limits _{n\to \infty }a_ n = +\infty$.

Случай нестрого убывающей последовательности аналогичен. Он может быть сведен к предыдущему случаю умножением на $-1$. $\blacksquare$

Следствие. Монотонная последовательность сходится тогда и только тогда, когда она ограничена.