3.4. Число e

Теорема 3.10. Последовательность $x_ n = \left(1 + \frac1n\right)^ n$ сходится.

$\blacktriangle $ Рассмотрим вспомогательную последовательность $y_ n = \left(1 + \frac1n\right)^{n+1}$. Покажем, что $\{ y_ n\} $ сходится. По неравенству Бернулли ($(1 + \alpha )^ n \geqslant 1 + n\alpha $ при $\alpha \geqslant -1$) имеем $y_ n \geqslant 1 + \frac{n+1}{n} \geqslant 2$, т.е $\{ y_ n\} $ ограничена снизу, и

$\dfrac {y_ n}{y_{n+1}} = \dfrac { \left(\frac{n+1}{n}\right)^{n+1} }{ \left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+2} } = \dfrac {n}{n+1} \cdot \dfrac {\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n+2}} {\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+2}} = \dfrac {n}{n+1} \left(\dfrac {(n+1)^2}{n(n+2)}\right)^{n+2} = $

$ =\dfrac {n}{n+1} \left(1 + \dfrac {1}{n(n+2)}\right)^{n+2} \geqslant \dfrac {n}{n+1} \left(1 + \dfrac 1n\right) = 1$, т.е.

$\{ y_ n\} $ — нестрого убывает, $y_ n \leqslant y_1 = 4$.

По Теореме 3.9 $\exists \lim \limits _{n\to \infty }y_ n \in \mathbb {R}$. Переходя в неравенстве $2 \leqslant y_ n \leqslant 4$ к пределу заключаем, что $\lim \limits _{n\to \infty }y_ n \in [2, 4]$.

По теореме о пределе частного:

$\exists \lim \limits _{n\to \infty }x_ n = \lim \limits _{n\to \infty }\dfrac {y_ n}{1 + \frac1n} = \dfrac {\lim \limits _{n\to \infty }y_ n}{\lim \limits _{n\to \infty }\left(1 + \frac1n\right)} = \lim \limits _{n\to \infty }y_ n$. $\blacksquare $

Определение 3.15. $e = \lim \limits _{n\to \infty }\left(1 + \frac1n\right)^ n$

Вычислено, что $e = 2.718281828\ldots $.