3.5. Частичные пределы последовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса

Определение 3.16. Если $\{ a_ n\}$ числовая последовательность, $\{ n_ k\}$ — строго возрастающая последовательность натуральных чисел, то последовательность $\{ b_ k\}$, где $\forall k\in \mathbb {N}\colon b_ k = a_{n_ k}$, называют подпоследовательностью $\{ a_ n\}$. Обозначение. $\{ a_{n_ k}\}$

Пример. $\left\{ \frac{1}{2k}\right\}$ — подпоследовательность $\left\{ \frac1n\right\}$.

Лемма 3.4. Если последовательность имеет предел в $\overline{\mathbb {R}}$, то любая её подпоследовательность имеет тот же предел.

$\blacktriangle$ Пусть $\lim \limits _{n\to \infty }a_ n = a, \{ a_{n_ k}\}$ — подпоследовательность $\{ a_ n\}$.

1. Покажем, что $\forall k \in \mathbb {N}\colon n_ k \geqslant k$.

   ММИ: для $k=1\ n_1 \geqslant 1$ — верно. Пусть неравенство выполняется для любого $k$. Тогда оно выполняется и для $k+1$: $n_{k+1} > n_{k} \geqslant k \Rightarrow n_{k+1} \geqslant k+1$.

2. $\lim \limits _{n\to \infty }a_ n = a \Rightarrow \forall \varepsilon > 0\ \exists N_\varepsilon \in \mathbb {R}\ \forall n > N_\varepsilon \colon a_ n \in B_\varepsilon (a)$. Тогда $\forall k > N_\varepsilon \colon$ $n_ k > k > N_\varepsilon \Rightarrow$ $a_{n_ k} \in ~B_\varepsilon (a)$, т.е. $\lim \limits _{n\to \infty }a_{n_ k} = a$.

Определение 3.17. Точка $a\in \overline{\mathbb {R}}$ называется частичным пределом $\{ a_ n\}$, если $\exists \{ a_{n_ k}\}$ — подпоследовательность $\{ a_ n\}$, т.ч. $\lim \limits _{k\to \infty }a_{n_ k} = a$.

Теорема 3.11 (Критерий частичного предела). $a \in \overline{\mathbb {R}}$ — частичный предел $\{ a_ n\}$ $\Leftrightarrow$
$\forall \varepsilon > 0\ B_\varepsilon (a)$ содержит бесконечно много членов $a_ n$ (т.е. $\{ n \in \mathbb {N}\colon a_ n \in B_\varepsilon (a)\}$ — бесконечно).

$\blacktriangle$ ($\Rightarrow$) Пусть $a$ — частичный предел $\{ a_ n\}$ $\Rightarrow$$\exists \{ a_{n_ k}\}$ — подпоследовательность $\{ a_ n\}$,
что $a = \lim \limits _{k\to \infty }\{ a_{n_ k}\}$. Тогда $\forall \varepsilon > 0\ \exists N\ \forall k > N\colon a_{n_ k} \in B_\varepsilon (a) \Rightarrow$ в $B_\varepsilon (a)$ содержится бесконечное число членов $\{ a_{n_ k}\}$, а следовательно, и самой последовательности $\{ a_ n\}$.

($\Leftarrow$) Пусть в любой окрестности $B_\varepsilon (a)$ точки $a \in \overline{\mathbb {R}}$ содержится бесконечное число членов $\{ a_{n}\}$. Выберем $n_1 \in \mathbb {N}\colon a_{n_1} \in B_1(a)$. Если уже выбраны $n_1, n_2, \ldots , n_ m \in \mathbb {N}\colon n_1 < n_2 < \ldots < n_ m$ и $a_{n_ k} \in B_{\frac1k}(a)\ (1 \leqslant k \leqslant m)$, то выберем $n_{m+1}$ так, что $n_{m+1} > n_ m$ и $a_{n_{m+1}} \in B_{\frac1{m+1}}(a)$. Так будет построена подпоследовательность $\{ a_{n_ k}\}$. Покажем, что $a = \lim \limits _{k\to \infty }a_{n_ k}$. Действительно, $\forall \varepsilon > 0\ \exists N = \frac1\varepsilon \ \forall k > N \colon a_{n_ k} \in B_{\frac1k}(a) \subset B_\varepsilon (a)$. $\blacksquare$

Следствие. $+\infty \ (-\infty )$ — частичный предел $\{ a_ n\} \Leftrightarrow$ $\{ a_ n\}$ неограничена сверху (снизу).

$\blacktriangle$ Докажем для $+\infty$. Доказательство для $-\infty$ аналогично.

Если $+\infty$ не является частичным пределом $\{ a_ n\}$, то $\exists \varepsilon >0$, что $B_\varepsilon (+\infty )$ содержит лишь конечное число членов $a_ n$. Тогда $\forall n\in \mathbb {N}\colon$ $a_ n \leqslant \max \{ \frac1\varepsilon , a_ n\mbox{, где } a_ n\in B_\varepsilon (+\infty )\}$, т.е. $\{ a_ n\}$ ограничена сверху.

Если $\{ a_ n\}$ ограничена сверху, то $\exists M\in \mathbb {R}\colon a_ n\leqslant M$. Найдём $\varepsilon >0\colon \frac1\varepsilon >M$. Тогда в $B_\varepsilon (+\infty )$ нет членов $\{ a_ n\}$ и, значит, по Т3.11 $+\infty$ не является частичным пределом. $\blacksquare$

Теорема 3.12. Множество частичных пределов последовательности не пусто в $\overline{\mathbb {R}}$.

$\blacktriangle$ Пусть $L$ — множество частичных пределов последовательности $\{ a_ n\}$. Пусть

$E = \{ x \in \mathbb {R}\colon x = a_ n, n \in \mathbb {N}\}$ — множество значений $\{ a_ n\}$.

1. $E$ — конечно $\Rightarrow \exists a \in E, \exists \{ n_ k\}$ — строго возрастающая последовательность натуральных чисел, что $a = a_{n_ k} \Rightarrow \lim \limits _{k\to \infty }a_{n_ k} = a \Rightarrow a\in L$.

2. $E$ — бесконечно $\Rightarrow \exists a$ — предельная точка $E$ $\Rightarrow$  $\forall \varepsilon > 0\colon B_\varepsilon (a) \cap E$ — бесконечно $\Rightarrow$

   $\forall \varepsilon > 0\ \{ n \in \mathbb {N}\colon a_ n \in B_\varepsilon (a)\}$ — бесконечно $\Rightarrow a$ — частичный предел $\{ a_ n\}$, т.е. $a\in L$.

Следствие (Теорема Больцано-Вейерштрасса). Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

$\blacktriangle$ По Теореме 3.12 множество частичных пределов последовательности непусто в $\overline{\mathbb {R}}$, но $\pm \infty$ по следствию из Т3.11 не является частичным пределом $\Rightarrow$  множество частичных пределов содержит действительное число. $\blacksquare$

Теорема 3.13. Множество частичных пределов в $\overline{\mathbb {R}}$  (и в $\mathbb {R}$) замкнуто.

$\blacktriangle$ Пусть $L$ — множество частичных пределов $\{ a_ n\}$. Покажем, что $\overline{\mathbb {R}}\backslash L\ (\mathbb {R}\backslash L)$ открыто.

Пусть $y \in \overline{\mathbb {R}}\backslash L \Rightarrow \exists B_\varepsilon (y)$, содержащая лишь конечное число членов $\{ a_ n\}$. Т.к. $B_\varepsilon (y)$ — открытое множество, то $\forall x \in B_\varepsilon (y)\ \exists B_\delta (x) \subset B_\varepsilon (y)$. Но тогда в $B_\delta (x)$ лишь конечное число членов $\{ a_ n\}$ $\Rightarrow x$ не является частичным пределом $\{ a_ n\} \Rightarrow x \in \overline{\mathbb {R}}\backslash L\ (\mathbb {R}\backslash L) \Rightarrow B_\varepsilon (y) \subset \overline{\mathbb {R}}\backslash L\ (\mathbb {R}\backslash L) \Rightarrow$

$\overline{\mathbb {R}}\backslash L\ (\mathbb {R}\backslash L)$ открыто $\Rightarrow L$ — замкнуто. $\blacksquare$

Следствие. Множество частичных пределов последовательности имеет максимальный и минимальный элементы в $\overline{\mathbb {R}}$.

$\blacktriangle$ Пусть $L$ — множество частичных пределов $\{ a_ n\}$. По Т3.12 и Т3.13 множество $L$ непусто и замкнуто в $\overline{\mathbb {R}}$. Если $L$ ограничено, то по Т2.3 $L$ имеет максимальный и минимальный элементы. Если $L$ неограничено сверху (снизу), то сама последовательность $\{ a_ n\}$ не ограничена сверху (снизу) $\Rightarrow +\infty \ (-\infty ) \in L$ по следствию из Т3.11 $\Rightarrow$ $+\infty$ — максимальный элемент $L$ ($-\infty$ — минимальный элемент $L$). $\blacksquare$

Определение 3.18.

1. Верхний предел последовательности $\{ a_ n\}$ — это наибольший из частичных пределов $\{ a_ n\}$ в $\overline{\mathbb {R}}$. Обозначение. $\varlimsup \limits _{n\to \infty }a_ n$.

2. Нижний предел последовательности $\{ a_ n\}$ — это наименьший из частичных пределов $\{ a_ n\}$ в $\overline{\mathbb {R}}$. Обозначение. $\varliminf \limits _{n\to \infty }a_ n$.

Теорема 3.14. Справедливы равенства:

$$\varlimsup \limits _{n\to \infty }a_ n = \lim \limits _{n\to \infty }\sup \limits _{k\geqslant n} \{ a_ k\} , \quad \varliminf \limits _{n\to \infty }a_ n = \lim \limits _{n\to \infty }\inf \limits _{k\geqslant n} \{ a_ k\} .$$

$\blacktriangle$ Докажем первое равенство. Пусть $b_ n = \sup \limits _{k\geqslant n} \{ a_ k\}$ ($\{ b_ n\}$ — последовательность со значениями в $\overline{\mathbb {R}}$). Т.к. $\forall n \in \mathbb {N}\colon b_ n = \sup \limits _{k\geqslant n} \{ a_ k\} \geqslant \sup \limits _{k\geqslant {n+1}} \{ a_ k\} = b_{n+1}$ (вытекает из $(X \subset Y \Rightarrow \sup X \leqslant \sup Y)$), то $\{ b_ n\}$ нестрого убывает $\Rightarrow \exists S = \lim \limits _{n\to \infty }b_ n \in \overline{\mathbb {R}}$.

Возможно 3 случая:

1. $S = +\infty \Rightarrow \forall n \in \mathbb {N}\colon b_ n = +\infty \Rightarrow b_1 = \sup \{ a_ n\} = +\infty \Rightarrow \{ a_ n\}$ — неограниченно сверху $\Rightarrow$  $+\infty$ — частичный предел $\{ a_ n\} \Rightarrow +\infty = \varlimsup \limits _{n\to \infty }a_ n$.

2. $S = -\infty$. Поскольку $\forall n \in \mathbb {N}\colon a_ n \leqslant \sup \limits _{k\geqslant n} \{ a_ k\} = b_ n \stackrel{\mbox{Т3.7}}{\Rightarrow } \lim \limits _{n\to \infty }a_ n = -\infty \Rightarrow$ множество частичных пределов $\{ a_ n\}$ состоит из $-\infty \Rightarrow \varlimsup \limits _{n\to \infty }a_ n = -\infty$.

3. $S\in \mathbb {R}$. Тогда $\forall \varepsilon > 0\ \exists N\ \forall n > N\colon b_ n \in B_\varepsilon (S)$. Т.к. $\{ b_ n\}$ нестрого убывает, то $S = \inf \{ b_ n\} \Rightarrow$ $\forall n > N\colon S \leqslant b_ n < S + \varepsilon$. По определению точной верней грани

   $\exists k \geqslant n\colon S-\varepsilon < a_ k \leqslant \sup \limits _{k\geqslant n} \{ a_ k\} = b_ n < S + \varepsilon$. Итак, $\forall \varepsilon > 0\ \forall n \in \mathbb {N}\ \exists k \geqslant n\colon a_ k \in B_\varepsilon (S) \Rightarrow B_\varepsilon (S)$ содержит бесконечно много членов $\{ a_ n\} \Rightarrow S$ — частичный предел $\{ a_ n\}$.

   С другой стороны, $\forall n > N\colon a_ n \leqslant \sup \limits _{k\geqslant n} \{ a_ k\} = b_ n < S + \varepsilon \Rightarrow$ множество $A_\varepsilon = \{ x \in \mathbb {R}, x > S + \varepsilon \}$ содержит лишь конечное число членов $\{ a_ n\}$. Множество $A_\varepsilon$ открыто $\Rightarrow$

   $\forall y \in A_\varepsilon \ \exists B_\delta (y) \subset A_\varepsilon$ $\Rightarrow$ в $B_\delta (y)$ содержится лишь конечное число членов $\{ a_ n\} \Rightarrow y$ не является частичным пределом $\{ a_ n\}$. Т.к. $\varepsilon > 0$ произвольно, то $\forall x > S\colon$ $x$ не является частичным пределом $\{ a_ n\}$.

   Следовательно, $S = \varlimsup \limits _{n\to \infty }a_ n$. $\blacksquare$

Теорема 3.15. $a = \lim \limits _{n\to \infty }a_ n \Leftrightarrow \varlimsup \limits _{n\to \infty }a_ n = \varliminf \limits _{n\to \infty }a_ n = a$.

$\blacktriangle$ ($\Rightarrow$) Пусть $a = \lim \limits _{n\to \infty }a_ n$. Тогда по Л3.4 множество частичных пределов $\{ a_ n\}$ состоит только из $a \Rightarrow$ $\varlimsup \limits _{n\to \infty }a_ n = \varliminf \limits _{n\to \infty }a_ n = a$.

($\Leftarrow$) Если $\varlimsup \limits _{n\to \infty }a_ n = \varliminf \limits _{n\to \infty }a_ n = a$, то по Т3.14 имеем:

$\forall \varepsilon > 0\ \exists N_\varepsilon '\ \forall n > N_\varepsilon '\colon \sup \limits _{k\geqslant n} \{ a_ k\} \in B_\varepsilon (a)$.

$\forall \varepsilon > 0\ \exists N_\varepsilon ''\ \forall n > N_\varepsilon ''\colon \inf \limits _{k\geqslant n} \{ a_ k\} \in B_\varepsilon (a)$.

Положим $N_\varepsilon = \max \{ N_\varepsilon ', N_\varepsilon ''\}$. Тогда, учитывая $\inf \limits _{k\geqslant n} \{ a_ k\} \leqslant a_ n \leqslant \sup \limits _{k\geqslant n} \{ a_ k\}$, имеем

$\forall \varepsilon > 0\ \forall n > N_\varepsilon \colon a_ n \in B_\varepsilon (a)$, т.е. $\lim \limits _{n\to \infty }a_ n = a$. $\blacksquare$