3.6. Критерий Коши
Определение 3.19. Последовательность {an} называют фундаментальной (или последовательностью Коши), если
∀ε>0 ∃N∈R ∀n>N ∀m>N:|an−am|<ε.
Теорема 3.16 (Критерий Коши). {an} сходится ⇔ {an} фундаментальна.
▴ (⇒) Если lim, то \forall \varepsilon > 0\ \exists N_\varepsilon \ \forall n > N_\varepsilon \colon |a_ n - a| < \frac\varepsilon 2.
Тогда \forall n > N_\varepsilon \ \forall m > N_\varepsilon имеем:
|a_ n - a_ m| = |(a_ n - a) - (a_ m - a)| \leqslant |a_ n - a| + |a_ m - a| < \frac\varepsilon 2 + \frac\varepsilon 2 = \varepsilon
и, значит, \{ a_ n\} — фундаментальна.
(\Leftarrow ) Пусть \{ a_ n\} фундаментальна. Покажем, что \{ a_ n\} ограничена.
Для \varepsilon = 1\ \exists N_1\ \forall n > N_1\ \forall m > N_1\colon |a_ n - a_ m| < 1. Зафиксируем l > N_1, тогда \forall n > N_1\colon a_ l-1 < a_ n < a_ l+1. Положим \alpha = \min \{ a_ l-1, a_ n \mbox{ где } n \leqslant N_1\}, \beta = \max \{ a_ l+1, a_ n \mbox{ где } n \leqslant N_1\} .
Тогда \forall n \in \mathbb {N}\colon \alpha \leqslant a_ n \leqslant \beta , т.е. \{ a_ n\} — ограничена. По теореме Больцано-Вейерштрасса, существует частичный предел \{ a_ n\} . Обозначим его через a и покажем, что a = \lim \limits _{n\to \infty }a_ n.
Т.к. \{ a_ n\} — фундаментальна, то \forall \varepsilon > 0\ \exists N\ \forall n > N\ \forall m > N\colon |a_ n - a_ m| < \frac\varepsilon 2. Число a — частичный предел \{ a_ n\} \stackrel{\mbox{T3.11}}{\Rightarrow } в B_{\frac\varepsilon 2}(a) содержится бесконечно много членов a_ n \Rightarrow \exists m > N\colon a_ m \in B_{\frac\varepsilon 2}(a). Но тогда
\forall n > N\colon |a_ n - a| \leqslant |a_ n - a_ m| + |a_ m - a| < \frac\varepsilon 2 + \frac\varepsilon 2 = \varepsilon
и, значит, a = \lim \limits _{n\to \infty }a_ n. \blacksquare
Замечание. При использовании критерия Коши не обязательно знать величину предела.