5.2. Логарифм и степенная функция

Определение 5.2. Функция, обратная к показательной функции $y = a^ x\ (a > 0, a\neq 1)$ на $\mathbb {R}$, называется логарифмической функцией и обозначается $y = \log _ a x$.

Теорема 5.3. Логарифмическая функция $y = \log _ a x$ определена на $(0, +\infty )$, строго монотонна и непрерывна на $(0, +\infty )$, множество её значений $\mathbb {R}$, выполняются свойства:

1. $\forall x \in (0; +\infty )\colon \log _ a x = \frac{\log _ b x}{\log _ b a}$.

2. $\forall x, t \in (0; +\infty )\colon \log _ a xt = \log _ a x + \log _ a t$.

3. $\forall x \in (0; +\infty )\colon \forall t\in \mathbb {R}, \log _ a x^ t = t\log _ a x$.

$\blacktriangle$ Доказательство вытекает из свойств показательной функции и теоремы об обратной функции. Проверим свойство (3). Т.к. показательная и логарифмическая функции взаимо обратны, то справедливы тождества:

$a^{\log _ a x} = x, \log _ a a^ x = x$. Откуда: $a^{\log _ a x^ t} = x^ t = (a^{\log _ a x})^ t = a^{t\log _ a x} \Leftrightarrow \log _ a x^ t = t \log _ a x$. $\blacksquare$

Определение 5.3. Пусть $\alpha \in \mathbb {R}$, тогда функция $x\to x^\alpha , x\in (0; +\infty )$, называется степенной функцией с показателем $\alpha$.

Теорема 5.4. Степенная функция $y = x^\alpha$ непрерывна на $(0; +\infty )$, строго возрастает при $\alpha > 0$, постоянна при $\alpha = 0$, строго убывает при $\alpha < 0$.

$\blacktriangle$ Поскольку $x^\alpha = e^{\alpha \ln x}$, свойства степенной функции вытекают из свойств показательной и логарифмической функции. $\blacksquare$