Now you are in the subtree of Математический анализ project. 

5.5. Некоторые замечательные пределы

Теорема 5.8 (первый замечательный предел). limx0sinxx=1.

image

 1) 0<x<π2.

SAOB<Sсек. AOB<SAOC.

12BNOA<12OA2x<12OAAC

12sinx<12x<12tgx.

Таким образом, sinx<x<sinxcosx.

cosx<sinxx<1. x:0<|x|<π2.

Т.к. y=cosx непрерывна в точке x=0, то limx0cosx=cos0=1.

По теореме о зажатой функции limx0sinxx=1.

Следствие. limx0arcsinxx=1.

 Рассмотрим y=arcsinx. Тогда limx0y(x)=arcsin0=0, y(x)0 при x0.

Т.к. limy0ysiny=1, то по теореме о замене переменной в пределе limx0arcsinxx=limy0ysiny=1.

Лемма 5.3. Если {Kn},KnN,Kn+, то limn(1+1Kn)Kn=e.

 По определению e=limnxn, где xn=(1+1n)n. Тогда ε>0 N1 n>N1:xnBε(e).

Т.к. Kn+, то N n>N:Kn>N1. Следовательно, ε>0 N n>N: xKnBε(e), т.е. limnxKn=e.

Теорема 5.9 (второй замечательный предел). limx0(1+x)1x=limx±(1+1x)x=e.

 Пусть xn+;Kn=[xn];Knxn<Kn+1.

При xn1 выполнено:

(1+1Kn+1)Kn<(1+1xn)xn<(1+1Kn)Kn+1.

limn(1+1Kn+1)Kn=(1+1Kn+1)Kn+1(1+1Kn+1)=e.

limn(1+1Kn)Kn+1=limn(1+1Kn)Kn(1+1Kn)=e.

limn(1+1xn)xn=e. По определению Гейне limx+(1+1x)x=e.

Тогда limx(1+1x)x=limx(xx+1)x= limx(1+1x1)x=

=limx(1+1x1)x1(1+1x1)y=x1= limy+(1+1y)y(1+1y)=e.

В полученном пределе делаем замену x=1t, тогда по теореме 4.10
limt+0(1+t)1t=e=limt0(1+t)1t.

По лемме об одностороннем пределе существует предел limt0(1+t)1t=e.

Следствие 1. limx0ln(1+x)x=1.

 Т.к. z=lny непрерывна в точке y=1, имеем limx0ln(1+x)x=limx0ln(1+x)1x=lnlimx0(1+x)1x= =lne=1.

Следствие 2. limx0ex1x=1.

 В пределе limy0ln(1+y)y=1 сделаем замену y=ex1,y(x)0x0. По теореме 4.10 1=limx0ln(1+ex1)ex1=limx0xex1. Откуда limx0ex1x=1.