5.5. Некоторые замечательные пределы
Теорема 5.8 (первый замечательный предел). limx→0sinxx=1.
▴ 1) 0<x<π2.
SAOB<Sсек. AOB<SAOC.
12BN⋅OA<12OA2⋅x<12OA⋅AC
12sinx<12x<12tgx.
Таким образом, sinx<x<sinxcosx.
cosx<sinxx<1. ∀x:0<|x|<π2.
Т.к. y=cosx непрерывна в точке x=0, то limx→0cosx=cos0=1.
По теореме о зажатой функции limx→0sinxx=1. ◼
Следствие. limx→0arcsinxx=1.
▴ Рассмотрим y=arcsinx. Тогда limx→0y(x)=arcsin0=0, y(x)≠0 при x≠0.
Т.к. limy→0ysiny=1, то по теореме о замене переменной в пределе limx→0arcsinxx=limy→0ysiny=1. ◼
Лемма 5.3. Если {Kn},Kn∈N,Kn→+∞, то limn→∞(1+1Kn)Kn=e.
▴ По определению e=limn→∞xn, где xn=(1+1n)n. Тогда ∀ε>0 ∃N1 ∀n>N1:xn∈Bε(e).
Т.к. Kn→+∞, то ∃N ∀n>N:Kn>N1. Следовательно, ∀ε>0 ∃N ∀n>N: xKn∈Bε(e), т.е. limn→∞xKn=e. ◼
Теорема 5.9 (второй замечательный предел). limx→0(1+x)1x=limx→±∞(1+1x)x=e.
▴ Пусть xn→+∞;Kn=[xn];Kn⩽xn<Kn+1.
При xn⩾1 выполнено:
(1+1Kn+1)Kn<(1+1xn)xn<(1+1Kn)Kn+1.
limn→∞(1+1Kn+1)Kn=(1+1Kn+1)Kn+1(1+1Kn+1)=e.
limn→∞(1+1Kn)Kn+1=limn→∞(1+1Kn)Kn(1+1Kn)=e.
limn→∞(1+1xn)xn=e. По определению Гейне limx→+∞(1+1x)x=e.
Тогда limx→−∞(1+1x)x=limx→−∞(xx+1)−x= limx→−∞(1+1−x−1)−x=
=limx→−∞(1+1−x−1)−x−1(1+1−x−1)y=−x−1= limy→+∞(1+1y)y⋅(1+1y)=e.
В полученном пределе делаем замену x=1t, тогда по теореме 4.10
limt→+0(1+t)1t=e=limt→−0(1+t)1t.
По лемме об одностороннем пределе существует предел limt→0(1+t)1t=e. ◼
Следствие 1. limx→0ln(1+x)x=1.
▴ Т.к. z=lny непрерывна в точке y=1, имеем limx→0ln(1+x)x=limx→0ln(1+x)1x=lnlimx→0(1+x)1x= =lne=1. ◼
Следствие 2. limx→0ex−1x=1.
▴ В пределе limy→0ln(1+y)y=1 сделаем замену y=ex−1,y(x)≠0⇔x≠0. По теореме 4.10 1=limx→0ln(1+ex−1)ex−1=limx→0xex−1. Откуда limx→0ex−1x=1. ◼