Processing math: 45%
Now you are in the subtree of Математический анализ project. 

1.10. Принцип полноты Кантора или принцип вложенных отрезков

Определение 1.12. Последовательностью элементов множества A называют функцию f:NA.

Если (n,a)f, то элемент a обозначается an, При этом саму последовательность обозначают {an} или {an}n=1.

Определение 1.13. Последовательностью отрезков называют функцию из N на множество отрезков.
Обозначение: {[an,bn]}n=1.

Определение 1.14. Последовательность отрезков называют вложенной, если nN: [an,bn][an+1,bn+1].

Определение 1.15. Последовательность вложенных отрезков называют стягивающейся, если ε>0 nN:bnan<ε.

Теорема 1.4 (Принцип полноты Кантора).
Любая последовательность вложенных отрезков имеет общую точку (причём, если эта последовательность стягивающаяся, то такая точка единственная).

 Пусть {[an,bn]}n=1 — последовательность вложенных отрезков. Рассмотрим A={an:nN}. Поскольку nN:an, A — непустое ограниченное сверху множество \Rightarrow \exists c = \sup A. Пусть n, k \in \mathbb {N}, тогда a_ n \leqslant a_{n+k} \leqslant b_{n+k} \leqslant b_ k. Следовательно, b_ k — верхняя грань A \Rightarrow c \leqslant b_ k. С другой стороны, a_ k \leqslant c. Итак, \forall k\in \mathbb {N}\colon a_ k \leqslant c \leqslant b_ k, т.е. c \in \bigcap \limits _{k=1}^\infty [a_ k, b_ k].

Пусть \{ [a_ n, b_ n]\} _{n=1}^\infty  — стягивающаяся последовательность. Предположим,

\exists c_1, c_2 \in \bigcap \limits _{k=1}^\infty [a_ k, b_ k], c_1 < c_2. Тогда \forall n\in \mathbb {N}\colon a_ n \leqslant c_1 < c_2 \leqslant b_ n \Rightarrow b_ n - a_ n \geqslant c_2 - c_1!!!

(для \varepsilon = c_2 - c_1 > 0\ \exists n\in \mathbb {N}\colon b_ n - a_ n < \varepsilon ).

Следовательно, двух различных общих точек быть не может. \blacksquare