1.10. Принцип полноты Кантора или принцип вложенных отрезков

Определение 1.12. Последовательностью элементов множества $A$ называют функцию $f\colon \mathbb {N}\to A$.

Если $(n, a) \in f$, то элемент $a$ обозначается $a_ n$, При этом саму последовательность обозначают $\{ a_ n\} $ или $\{ a_ n\} _{n=1}^\infty $.

Определение 1.13. Последовательностью отрезков называют функцию из $\mathbb {N}$ на множество отрезков.
Обозначение: $\{ [a_ n, b_ n]\} _{n=1}^\infty $.

Определение 1.14. Последовательность отрезков называют вложенной, если $\forall n\in \mathbb {N}\colon $ $[a_ n, b_ n] \supset [a_{n+1}, b_{n+1}]$.

Определение 1.15. Последовательность вложенных отрезков называют стягивающейся, если $\forall \varepsilon > 0\ \exists n \in \mathbb {N}\colon b_ n - a_ n < \varepsilon $.

Теорема 1.4 (Принцип полноты Кантора).
Любая последовательность вложенных отрезков имеет общую точку (причём, если эта последовательность стягивающаяся, то такая точка единственная).

$\blacktriangle $ Пусть $\{ [a_ n, b_ n]\} _{n=1}^\infty $ — последовательность вложенных отрезков. Рассмотрим $A = \{ a_ n\colon n\in \mathbb {N}\} $. Поскольку $\forall n\in \mathbb {N}\colon a_ n \leqslant b_ n \leqslant b_1$, $A$ — непустое ограниченное сверху множество $\Rightarrow $ $\exists c = \sup A$. Пусть $n, k \in \mathbb {N}$, тогда $a_ n \leqslant a_{n+k} \leqslant b_{n+k} \leqslant b_ k$. Следовательно, $b_ k$ — верхняя грань $A \Rightarrow $ $c \leqslant b_ k$. С другой стороны, $a_ k \leqslant c$. Итак, $\forall k\in \mathbb {N}\colon a_ k \leqslant c \leqslant b_ k$, т.е. $c \in \bigcap \limits _{k=1}^\infty [a_ k, b_ k]$.

Пусть $\{ [a_ n, b_ n]\} _{n=1}^\infty $ — стягивающаяся последовательность. Предположим,

$\exists c_1, c_2 \in \bigcap \limits _{k=1}^\infty [a_ k, b_ k], c_1 < c_2$. Тогда $\forall n\in \mathbb {N}\colon a_ n \leqslant c_1 < c_2 \leqslant b_ n \Rightarrow $ $b_ n - a_ n \geqslant c_2 - c_1$!!!

(для $\varepsilon = c_2 - c_1 > 0\ \exists n\in \mathbb {N}\colon b_ n - a_ n < \varepsilon $).

Следовательно, двух различных общих точек быть не может. $\blacksquare $