1.10. Принцип полноты Кантора или принцип вложенных отрезков
Определение 1.12. Последовательностью элементов множества A называют функцию f:N→A.
Если (n,a)∈f, то элемент a обозначается an, При этом саму последовательность обозначают {an} или {an}∞n=1.
Определение 1.13. Последовательностью отрезков называют функцию из N на множество отрезков.
Обозначение: {[an,bn]}∞n=1.
Определение 1.14. Последовательность отрезков называют вложенной, если ∀n∈N: [an,bn]⊃[an+1,bn+1].
Определение 1.15. Последовательность вложенных отрезков называют стягивающейся, если ∀ε>0 ∃n∈N:bn−an<ε.
Теорема 1.4 (Принцип полноты Кантора).
Любая последовательность вложенных отрезков имеет общую точку (причём, если эта последовательность стягивающаяся, то такая точка единственная).
▴ Пусть {[an,bn]}∞n=1 — последовательность вложенных отрезков. Рассмотрим A={an:n∈N}. Поскольку ∀n∈N:an⩽, A — непустое ограниченное сверху множество \Rightarrow \exists c = \sup A. Пусть n, k \in \mathbb {N}, тогда a_ n \leqslant a_{n+k} \leqslant b_{n+k} \leqslant b_ k. Следовательно, b_ k — верхняя грань A \Rightarrow c \leqslant b_ k. С другой стороны, a_ k \leqslant c. Итак, \forall k\in \mathbb {N}\colon a_ k \leqslant c \leqslant b_ k, т.е. c \in \bigcap \limits _{k=1}^\infty [a_ k, b_ k].
Пусть \{ [a_ n, b_ n]\} _{n=1}^\infty — стягивающаяся последовательность. Предположим,
\exists c_1, c_2 \in \bigcap \limits _{k=1}^\infty [a_ k, b_ k], c_1 < c_2. Тогда \forall n\in \mathbb {N}\colon a_ n \leqslant c_1 < c_2 \leqslant b_ n \Rightarrow b_ n - a_ n \geqslant c_2 - c_1!!!
(для \varepsilon = c_2 - c_1 > 0\ \exists n\in \mathbb {N}\colon b_ n - a_ n < \varepsilon ).
Следовательно, двух различных общих точек быть не может. \blacksquare