1.11. Эквивалентность принципов полноты

Теорема 1.5 (Аксиома Архимеда). Множество $\mathbb {N}$ неограниченно сверху, т.е.

$\forall a \in \mathbb {R}\ \exists n \in \mathbb {N}\colon n > a$.

$\blacktriangle$ Предположим, $\mathbb {N}$ ограничено сверху, тогда по Т3 $\exists k=\sup \mathbb {N}\Rightarrow$ $k-1$ не является точной верхней гранью $\mathbb {N}$, т.е. $\exists n\in \mathbb {N}\colon n>k-1\Rightarrow$ $n+1 > (k-1) + 1 =k$. Противоречие, т.к. $k$ — верхняя грань $\mathbb {N}$. $\blacksquare$

Определение 1.16. $a\in \mathbb {R}, n\in \mathbb {N}\colon a^ n = \underbrace{a \cdot \ldots \cdot a}_ n$.

Теорема 1.6 (Неравенство Бернулли). $\forall \alpha \in \mathbb {R}, \alpha \geqslant -1 \ \forall n \in \mathbb {N}: (1 + \alpha )^ n \geqslant 1 + \alpha n$.

$\blacktriangle$ ММИ: При $n=1$ $(1+\alpha )^1 \geqslant 1+1\alpha$ — верно.

Предположим, неравенство верно для $n=m$. Покажем, что оно верно и для $n=m+1$:

$(1+\alpha )^{m+1} = (1+\alpha )^ m(1+\alpha ) \geqslant (1+m\alpha )(1+\alpha ) = 1+(m+1)\alpha +m\alpha ^2\geqslant 1+(m+1)\alpha$. $\blacksquare$

Теорема 1.7. Из аксиомы Архимеда и принципа полноты Кантора следует аксиома непрерывности.

$\blacktriangle$ Пусть $A$, $B$ такие непустые числовые множества, что $\forall a\in A\ \forall b\in B\colon a\leqslant b$. Возьмём $a\in A, b\in B$. Если $a=b$, то положим $c=a=b$. Тогда $\forall a’\in A\ \forall b’\in B\colon a’\leqslant b=c=a\leqslant b’$.

Если $a\neq b$, то положим $[a_1, b_1] = [a, b]$. Отрезок $[a, b]$ содержит точки обоих множества $A$ и $B$. Разделим его на 2 отрезка $[a_1, \frac{a_1+b_1}{2}], [\frac{a_1+b_1}{2}, b_1]$. Если в каком-то отрезке есть точки обоих множеств, то обозначим его $[a_2, b_2]$.

Если такого отрезка нет, то $A\subset [a_1, \frac{a_1+b_1}{2}]\cup \{ x\in \mathbb {R}\colon xb_1\} \! \Rightarrow$ $c=\frac{a_1+b_1}{2}$ разделяет $A$ и $B$, т.е. $\forall a’\in A, b’\in B\colon a’\leqslant c\leqslant b’$.

Продолжим построение. Пусть уже построен отрезок $[a_ n, b_ n]$, $b_ n-a_ n=\frac{b-a}{2^{n-1}}$, содержащий точки обоих множеств $A$ и $B$. Разделим его пополам на $[a_ n, \frac{a_ n+b_ n}{2}]$ и $[\frac{a_ n+b_ n}{2}, b_ n]$.

Если какой-то из полученных отрезков содержит элементы обоих множества, обозначим его за $[a_{n+1}, b_{n+1}]$.

Если такого отрезка нет, $A\subset [a_ n, \frac{a_ n+b_ n}{2}]\cup \{ x\in \mathbb {R}\colon xb_ n\} \! \Rightarrow$ $c=\frac{a_ n+b_ n}{2}$ разделяет $A$ и $B$, т.е. $\forall a’\in A, b’\in B\colon a’\leqslant c\leqslant b’$.

Таким образом, если процесс построения $[a_ n, b_ n]$ оборвался, то точка $c$ найдена, иначе будет построена последовательность вложенных отрезков $\{ [a_ n, b_ n]\} _{n=1}^\infty$.

Покажем, что $\{ [a_ n, b_ n]\} _{n=1}^\infty$ — стягивающаяся. По неравенству Бернулли

$2^{n-1}=(1+1)^{n-1}\geqslant 1+(n-1)1 = n$. Тогда $b_ n-a_ n = \frac{b-a}{2^{n-1}}\leqslant \frac{b-a}{n}$.

Возьмём $\varepsilon >0$. По аксиоме Архимеда $\exists n\in \mathbb {N}\colon n > \frac{b-a}{\varepsilon }$ или $\frac{b-a}{n}

По принципу полноты Кантора $\exists c\in \bigcap \limits _{n=1}^\infty [a_ n,b_ n]$. Пусть $a’\in A$. Покажем, что $a’\leqslant c$. Имеем $\forall n\in \mathbb {N}\colon a’\leqslant b_ n$ (т.к. $[a_ n, b_ n]\cap B\neq \varnothing$ и $\forall b\in B\colon a’\leqslant b$).

Предположим $a’>c$, тогда $a_ n\leqslant c < a’ \leqslant b_ n \Rightarrow$ $b_ n-a_ n \geqslant a’-c>0$, что противоречит тому, что $\{ [a_ n, b_ n]\}$ — стягивающаяся.

Аналогично, если $b’\in B$, то $c\leqslant b’$. $\blacksquare$

AC — аксиома непрерывности.

PW — принцип полноты Вейерштрасса (Т3).

PK — принцип полноты Кантора (Т4).

AA — аксиома Архимеда (Т5).

AC $\Rightarrow$ PW $\Rightarrow$ (PK и AA) $\Rightarrow$ AC.

Тем самым доказана эквивалентность аксиомы непрерывности, принципа полноты Вейерштрасса и принципа полноты Кантора вместе с аксиомой Архимеда.

Приведём без доказательства следующий факт о действительных числах.

Теорема 1.8. Если $A$ и $A’$ удовлетворяют аксиоматике действительных чисел, то они изоморфны, т.е. $\exists f\colon A \to A’$ — биекция, что $\forall a, b \in A\colon$

1. $f(a + b) = f(a) + f(b)$.

2. $f(ab) = f(a)f(b)$.

3. $a \leqslant b \Rightarrow f(a) \leqslant f(b)$.