7.1. Теоремы о среднем

Определение 7.1. Точка $x_0$ называется точкой локального максимума (строго локального максимума) функции $f\colon E\to \mathbb {R}$, если $x_0$ внутренняя точка множества $E$ и $\exists \delta > 0\ \forall x\in B_\delta '(x_0)\colon$ $f(x) \leqslant f(x_0)\ (f(x) < f(x_0))$.

Определение 7.2. Точка $x_0$ называется точкой локального минимума (строго локального минимума) функции $f\colon E\to \mathbb {R}$, если $x_0$ внутренняя точка множества $E$ и $\exists \delta > 0\ \forall x\in B_\delta '(x_0)\colon$ $f(x) \geqslant f(x_0)\ (f(x) > f(x_0))$.

Определение 7.3. Все точки локального максимума и локального минимума называются точками локального экстремума.

Пример: Пусть $f\colon \mathbb {R}\to \mathbb {R}$,

$f(x) = \begin{cases} 0, x < -1,\\x^2, -1 \leqslant x < 2, \\4, x \geqslant 2. \end{cases}$ Тогда (figure 7.1)

$x = -1$ — точка строго локального максимума.

$x = 0$ — точка строго локального минимума.

$x = 2$ — точка локального максимума (нестрого).

$x > 2, x < -1$ — одновременно является точкой локального максимума и минимума.

Теорема 7.1 (Ферма). Пусть $x_0$ — точка локального экстремума функции $f\colon E\to \mathbb {R}$. Тогда если $f$ имеет производную в точке $x_0$, то $f'(x_0) = 0$.

$\blacktriangle$ Если $x_0$ — точка локального максимума $f\colon E\to \mathbb {R}$, то $\exists \delta >0\colon B_\delta (x_0)\subset E$ и $\forall x\in B_\delta '(x)\colon$ $f(x) \leqslant f(x_0)$. Тогда $\Delta f = f(x) - f(x_0) \leqslant 0$ при $x\in B_\delta '(x_0)$, и, значит, $\frac{\Delta f}{\Delta x} \leqslant 0$ при $0 < \Delta x < \delta$, $\frac{\Delta f}{\Delta x} \geqslant 0$ при $-\delta$\blacksquare $

Всюду в этом параграфе отрезок $[a, b]$ предполагается невырожденным.

Теорема 7.2 (Ролль). Если $f\colon [a, b]\to \mathbb {R}$

1. непрерывна на $[a, b]$,

2. дифференцируема на $(a, b)$,

3. $f(a) = f(b)$,

то $\exists c\in (a, b)\colon f'(c) = 0$.

$\blacktriangle$ По теореме Вейерштрасса $\exists x_ s, x_ i \in [a, b]\colon f(x_ s) = \sup \limits _{\scriptscriptstyle [a, b]} f, f(x_ i) = \inf \limits _{\scriptscriptstyle [a, b]} f$. Если
$f(x_ s) > f(a) = f(b)$, то положим $c = x_ s$. Если $f(x_ i) < f(a) = f(b)$, то положим $c = x_ i$. В любом случае $c \in (a, b)$ и $c$ — точка локального экстремума $f$, по Т7.1 Ферма $f'(c) = 0$.

Если $f(x_ s) = f(a) = f(b) = f(x_ i)$, то $f$ — постоянна на $[a, b]$ и в качестве точки $c$ можно взять любую точку из $(a, b)$. $\blacksquare$

Теорема 7.3 (Лагранжа о среднем). Если $f\colon [a, b]\to \mathbb {R}$

1. непрерывна на $[a, b]$,

2. дифференцируема на $(a, b)$,

то $\exists c\in (a, b)\colon f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)$.

$\blacktriangle$ Рассмотрим функцию $g(x) = f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a)$. Такая функция непрерывна на $[a, b]$, дифференцируема на $(a, b)$ и $g(a) = f(a) = g(b)$. По Т7.2 Ролля $\exists c\in (a, b)\colon g'(c) = f'(c) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = 0$, т.е. $f'(c)(b-a) = f(b) - f(a)$. $\blacksquare$

Замечание. Если положить $\Delta x = b - a, \Delta f = f(b) - f(a)$, то формула в Т.Лагранжа запишется в следующем виде: $\Delta f = f'(c)\Delta x$ — формула конечных приращений (Лагранжа).

Геометрический смысл формулы Лагранжа: $\exists c \in (a, b)$, что касательная к графику $f$ в точке $(c, f(c))$ параллельна хорде, соединяющей точки $(a, f(a))$ и $(b, f(b))$. (figure. 7.2).

Теорема 7.4 (Коши о среднем). Если $f\colon [a, b]\to \mathbb {R}$ и $g\colon [a, b]\to \mathbb {R}$

1. непрерывны на $[a, b]$,

2. дифференцируемы на $(a, b)$,

3. $g'(x) \neq 0$ на $(a, b)$,

то $\exists c\in (a, b)\colon \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}$.

$\blacktriangle$ Отметим, что $g(b) \neq g(a)$ (иначе по Т7.2 Ролля $\exists c\in (a, b)\colon g'(c) = 0$). Рассмотрим функцию $h(x) = f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}(g(x) - g(a))$. Эта функция непрерывна на $[a, b]$, дифференцируема на $(a, b)$ и $h(a) = h(b) = f(a)$. По Т7.2 Ролля $\exists c\in (a, b)\colon h'(c) = f'(c) - \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}g'(c) = 0$. Т.к. по условию $g'(c) \neq 0$, то $\frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}$. $\blacksquare$