7.4. Формула Тейлора

Определение 7.4. Пусть $f\colon E\to \mathbb {R}$ дифференцируема в точке $x_0$ не менее $n$ раз, тогда равенство $f(x) = \sum \limits _{k=0}^ n \frac{f^{(k)} (x_0)}{k!} (x - x_0)^ k + r_ n(x)$ называется формулой Тейлора функции $f$ в точке $x_0$. При этом $P_ n(x) = \sum \limits _{k=0}^ n \frac{f^{(k)} (x_0)}{k!} (x - x_0)^ k$ называется многочленом Тейлора, $r_ n(x) = f(x) - P_ n(x)$ называется остаточным членом Тейлора.

Пример: Если $P(x) = \sum \limits _{k=0}^ n a_ k (x-x_0)^ k$, то
$P^{(l)}(x) = \sum \limits _{k=l}^ n \frac{k!}{(k-l)!} a_ k (x-x_0)^{k-l}$, $P^{(l)}(x_0) = l! a_ l, 0 \leqslant l \leqslant n$.

Таким образом, $P(x) = \sum \limits _{k=0}^ n \frac{ P^{(k)}(x_0) }{k!} (x-x_0)^ k$ — формула Тейлора многочлена $P(x)$.

Теорема 7.9 (остаточный член в форме Пеано). Пусть $\exists f^{(n)}(x_0)\in \mathbb {R}$, тогда

$$f(x) = \sum \limits _{k=0}^ n \frac{f^{(k)} (x_0)}{k!} (x - x_0)^ k + o((x-x_0)^ n), x\to x_0,$$

т.е. $r_ n (x) = o((x-x_0)^ n)$ при $x\to x_0$.

$\blacktriangle$ Пусть $P_ n(x) = \sum \limits _{k=0}^ n \frac{f^{(k)} (x_0)}{k!} (x - x_0)^ k$, тогда $P^{(k)}(x_0) = f^{(k)}(x_0), 0\leqslant k\leqslant n$.

Рассмотрим $r_ n = f(x) - P_ n(x)$, тогда $r_ n(x_0) = r_ n'(x_0) = \ldots = r_ n^{(n)}(x_0) = 0$.

Используя правило Лопиталя, имеем:

$\lim \limits _{x\to x_0} \frac{r_ n(x)}{(x-x_0)^ n} = \lim \limits _{x\to x_0} \frac{r_ n'(x)}{n(x-x_0)^{n-1}} = \ldots =$ $\lim \limits _{x\to x_0} \frac{r_ n^{(n-1)}(x) }{ n!(x-x_0) } \stackrel{\mbox{Т7.6}}{=}$ $\frac{r_ n^{(n)}(x_0)}{n!} = 0$,

следовательно, $r_ n(x) = o((x-x_0)^ n)$ при $x\to x_0$. $\blacksquare$

Теорема 7.10 (остаточный член в форме Лагранжа). Пусть $x > x_0\ (x < x_0)$, $n \in \mathbb {N}\cup \{ 0\} , f^{(n)}$ непрерывна на отрезке $[x_0, x]$ ($[x, x_0]$) и $f^{(n+1)}$ существует на интервале $(x_0, x)$ ($(x, x_0)$). Тогда, существует $c \in (x, x_0)$ ($c \in (x_0, x)$), что

$$f(x) = \sum \limits _{k=0}^ n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^ k + \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!} (x-x_0)^{n+1},$$

т.е. $r_ n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!} (x-x_0)^{n+1}$.

$\blacktriangle$ Пусть $x > x_0$. Введём функции $\varphi (t) = (x-t)^{n+1}, \psi (t) = \sum \limits _{k=0}^ n \frac{f^{(k)}(t)}{k!} (x-t)^ k$.

Тогда $\psi (x) = f(x)$, $\psi (x_0) = \sum \limits _{k=0}^ n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^ k$.

$\psi '(t) = \sum \limits _{k=0}^ n \frac{f^{(k+1)}(t)}{k!} (x-t)^ k - \sum \limits _{k=1}^ n \frac{f^{(k)}(t)}{k!} k(x-t)^{k-1} =$ $\sum \limits _{k=0}^ n \frac{f^{(k+1)}(t)}{k!} (x-t)^ k - \sum \limits _{k=0}^{n-1} \frac{f^{(k+1)}(t)}{k!} (x-t)^{k} =$ $= \frac{ f^{(n+1)}(t) }{n!}(x-t)^ n$.

Значит, $r_ n(x) = f(x) - \sum \limits _{k=0}^ n \frac{f^{(k)} (x_0)}{k!} (x - x_0)^ k = \psi (x) - \psi (x_0)$.

Тогда по Теореме Коши о среднем $\frac{r_ n(x)}{\varphi (x) - \varphi (x_0)} = \frac{\psi (x) - \psi (x_0)}{\varphi (x) - \varphi (x_0)} =$ $\frac{\psi '(c)}{\varphi '(c)}$, где $c \in (x, x_0)$. Откуда

$$r_ n(x) = \frac{\psi '(c)}{\varphi '(c)} (\varphi (x) - \varphi (x_0)) = \frac{ f^{(n+1)}(c)(x-c)^ n }{n! (x-c)^ n(-1)} (0 - (x-x_0)^{n+1}) = \frac{ f^{(n+1)}(c) }{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}.~\blacksquare$$

Замечание. Если положить $\varphi (t) = x-t$, тогда $r_ n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{n!}(x-c)^ n(x-x_0)$ (остаточный член в форме Коши). Так можно получать разные формы остаточного члена.

Теорема 7.11 (о единственности). Пусть в $B_\varepsilon '(x_0)$

$$f(x) = a_0 + a_1(x-x_0) + \ldots + a_ n(x-x_0)^ n + o((x-x_0)^ n),$$

$$f(x) = b_0 + b_1(x-x_0) + \ldots + b_ n(x-x_0)^ n + o((x-x_0)^ n)$$

при $x\to x_0$. Тогда $a_0 = b_0, \ldots , a_ n=b_ n$.

$\blacktriangle$ Вычитая из второго представления первое имеем:

$$(b_0-a_0) + (b_1 - a_1)(x-x_0) + \ldots +(b_ n-a_ n)(x-x_0)^ n = o((x-x_0)^ n), x\to x_0\ (*).$$

Переходя в этом равенстве к пределу при $x\to x_0$, получим $b_0 = a_0$. Учитывая это, поделим $(*)$ на $(x-x_0)$. Тогда

$$(b_1-a_1) + (b_2 - a_2)(x-x_0) + \ldots + (b_{n}-a_{n})(x-x_0)^{n-1} = o((x-x_0)^{n-1}), x\to x_0,$$

аналогично получим $b_1 = a_1$ и т.д. $\blacksquare$

Следствие. Пусть $\exists f^{(n)}(x_0) \in \mathbb {R}$ и $f(x) = \sum \limits _{k=0}^ n a_ k(x-x_0)^ k + o((x-x_0)^ n), x\to x_0$. Тогда это равенство является формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, т.е. $a_ k = \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}, 0\leqslant k \leqslant n$.

Лемма 7.1. Пусть $\exists f^{(n+1)}(x_0) \in \mathbb {R}$ и

$f'(x) = \sum \limits _{k=0}^ n a_ k(x-x_0)^ k + o((x-x_0)^ n), x\to x_0$. Тогда

$$f(x) = f(x_0) + \sum \limits _{k=0}^ n \frac{a_ k}{k+1}(x-x_0)^{k+1} + o((x-x_0)^{n+1}), x\to x_0.$$

$\blacktriangle$ По предыдущему следствию $a_ k = \frac{(f')^{(k)}(x_0)}{k!} \Rightarrow$ $f^{(k+1)}(x_0) = a_ k k!, 0\leqslant k\leqslant n$.

По Т7.9 $f(x) = \sum \limits _{k=0}^{n+1} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^ k + o((x-x_0)^{n+1}) =$ $f(x_0) + \sum \limits _{k=0}^ n \frac{f^{({k+1})}(x_0)}{{k+1}!} (x-x_0)^{k+1} + o((x-x_0)^{n+1})$.

Откуда $f(x) = f(x_0) + \sum \limits _{k=0}^ n \frac{a_ k}{k+1}(x-x_0)^{k+1} + o((x-x_0)^{n+1}), x\to x_0$. $\blacksquare$