7.6. Основные разложения по формуле Маклорена

1. Если $f(x) = e^ x$, то $f^{(n)}(0) = e^0 = 1$ для всех $n\in \mathbb {N}\cup \{ 0\}$, следовательно,

   $e^ x = \sum \limits _{k=0}^ n \frac{x^ k}{k!} + o(x^ n), x\to 0$.

2. Если $f(x) = \sin x$, то $f^{(n)}(x) = \sin (x + \frac\pi 2 n)$, $n \in \mathbb {N}\cup \{ 0\}$;

   $f^{(2k)}(0) = \sin (\pi k) = 0, f^{(2k+1)}(0) = \sin (\frac\pi 2 + \pi k) = (-1)^ k$, следовательно,

   $\sin x = \sum \limits _{k=0}^ n \frac{(-1)^ k}{(2k+1)!} x^{2k+1} + o(x^{2n+2}), x\to 0$.

   Аналогично, $\cos x = \sum \limits _{k=0}^ n \frac{(-1)^ k}{(2k)!} x^{2k} + o(x^{2n+1}), x\to 0$.

3. Если $f(x) = \mathop {\rm sh}\nolimits (x)$, то $f^{(2k)}(x) = \mathop {\rm sh}\nolimits x, f^{(2k+1)}(0) = 0$, $f^{(2k+1)}(x) = \mathop {\rm ch}\nolimits x, f^{(2k+2)}(0) = 1$,

   следовательно, $\mathop {\rm sh}\nolimits x = \sum \limits _{k=0}^ n \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} + o(x^{2n+2}), x\to 0$.

   Аналогично, $\mathop {\rm ch}\nolimits x = \sum \limits _{k=0}^ n \frac{x^{2k}}{(2k)!} + o(x^{2n+1}), x\to 0$.

4. Если $f(x) = (1+x)^\alpha$, то $f^{(k)} = \alpha (\alpha -1)\ldots (\alpha -k+1)(1+x)^{\alpha -k}$ и, значит,

   $f^{(k)}(0) = \alpha (\alpha -1)\ldots (\alpha -k+1)$.

   Введём обозначение: $C_\alpha ^0 = 1, C_\alpha ^ k = \frac{\alpha (\alpha -1)\ldots (\alpha -k+1)}{k!}, k\in \mathbb {N}$. Тогда

   $(1+x)^\alpha = \sum \limits _{k=0}^ n C_\alpha ^ k x^ k + o(x^\alpha )$, $x\to 0$.

   В частности: $\frac1{1+x} = \sum \limits _{k=0}^ n (-1)^ k x^ k + o(x^\alpha )$, $x\to 0$.

5. Если $f(x) = \ln (1+x)$, то $f^{(k)}(x) = \frac{(-1)^{k-1} (k-1)!}{(1+x)^ k}, k\in \mathbb {N}$, и, значит, $f^{(k)} (0) = (-1)^{k-1} (k-1)!$,

   $f(0) = 0$, следовательно,

   $\ln (1+x) = \sum \limits _{k=1}^ n \frac{(-1)^{k-1}}{k} x^ k + o(x^ n), x\to 0$.

Пример. Если $f(x) = \mathop {\rm arctg}\nolimits x$, то $f'(x) = \frac1{1+x^2}$. Тогда по формуле (4) и Т4.10 о замене переменной в пределе $f'(x) = \sum \limits _{k=0}^ n (-1)^ k x^{2k} + o(x^{2n})$. По Лемме 1 и учитывая, что $f(0) = 0$, получим $\mathop {\rm arctg}\nolimits x = \sum \limits _{k=0}^ n \frac{(-1)^ k x^{2k+1}}{2k+1} + o(x^{2n+1}), x\to 0$.

Пример. Разложим $f(x) = \ln x$ по формуле Тейлора в точке $x_0 > 0$.

$\blacktriangle$ Пусть $t = x - x_0$, тогда имеем $t\to 0$. Имеем

$\ln x = \ln (x_0 + t) = \ln \left(x_0 \left(1 + \frac{t}{x_0}\right)\right) = \ln x_0 + \ln \left(1 + \frac{t}{x_0}\right) =$ $\ln x_0 + \sum \limits _{k=1}^ n \frac{(-1)^ k}{k} \left(\frac{t}{x_0}\right)^ k + o\left(\left(\frac{t}{x_0}\right)^ n\right) =$ $= \ln x_0 + \sum \limits _{k=1}^ n \frac{(-1)^{k-1}}{k x_0^ k} t^ k + o(t^ n)$, $t\to 0$. Окончательно

$\ln x = \ln x_0 + \sum \limits _{k=1}^ n \frac{(-1)^{k-1}}{k x_0^ k} (x-x_0)^ k + o((x-x_0)^ n)$, $x\to x_0$. $\blacksquare$

Пример. ($\frac00$) $\lim \limits _{x\to 0} \frac{\sin x - x\cos x}{\mathop {\rm sh}\nolimits x - \mathop {\rm arctg}\nolimits x} =$ $\lim \limits _{x\to 0} \frac{\frac{x^3}{3} + o(x^4)}{\frac{x^3}{2} + o(x^4)} = \frac23$.

$\blacktriangle$ При $x\to 0$.

$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^4)$.

$x \cos x = x(1 - \frac{x^2}{2} + o(x^3))$.

$\sin x - x\cos x = \frac{x^3}{3} + o(x^4)$.

$\mathop {\rm sh}\nolimits x = x + \frac{x^3}{6} + o(x^4)$.

$\mathop {\rm arctg}\nolimits x = x - \frac{x^3}{3} + o(x^4)$.

$\mathop {\rm sh}\nolimits x - \mathop {\rm arctg}\nolimits x = \frac{x^3}{2} + o(x^4)$. $\blacksquare$

Задача 2. Пусть $f(x) = f(x_0) + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)^2 + o((x-x_0)^2)$, $x\to x_0$.

Верно ли, что а) $\exists f'(x_0)$, б) $\exists f''(x_0)$?