Metrik fəzalar

$\newcommand{\bbQ}{\mathbb{Q}}$
$\newcommand{\bbR}{\mathbb{R}}$

$X$ çoxluğunun hər $x$, $y$ elementlər cütünə bu elementlər arasındakı məsafə adlanan və $\rho(x, y)$ kimi işarə olunan mənfi olmayan ədədi qarşı qoyan və aşağıdakı şərtləri ödəyən inikas metrika adlanır:
1) $\rho(x, y) = 0$ yalnız və yalnız $x = y$ olduqda,
2) $\rho(x, y) = \rho(y, x)$,
3) $\rho(x, z) \le \rho(x, y) + \rho(y, z)$.
Metrika ilə təchiz olunmuş çoxluq metrik fəza adlanır. $X$ çoxluğunda təyin olunmuş metrikanı bəzən $\rho_X$ ilə də işarə edəcəyik.

Nümunə. $\bbR$ çoxluğunda $x$ və $y$ arasındakı məsafəni $\rho(x, y) := |x-y|$ qəbul etsək metrik fəza alarıq.

Nümunə. $C[a,b]$ çoxluğunda
$$\rho(x, y) := \max_{t \in [a,b]} |x(t)-y(t)|$$
ifadəsi metrikanın bütün aksiomlarını ödəyir.

Tutaq ki, $X$ metrik fəzasında $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ elementlər ardıcıllığı verilmişdir. Əgər müəyyən $a \in X$ elementi üçün
$$\lim_{n \to \infty} \rho(x_n, a) = 0$$ şərti ödənərsə, deyirlər ki, $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ elementlər ardıcıllığı $a$ elementinə yığılır və bu
$$\lim_{n \to \infty} x_n = a \quad \text{və ya} \quad x_n \to a$$
kimi işarə olunur. Əgər $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ elementlər ardıcıllığı
$$\lim_{\substack{m \to \infty \\ n \to \infty}} \rho(x_m, x_n) = 0$$
şərtini ödəyərsə, belə ardıcıllıq fundamental ardıcıllıq (və ya Koşi ardıcıllığı) adlanır.

Çalışma.İxtiyari metrik fəzada hər bir yığılan ardıcıllıq fundamentaldır.

Əgər $X$ metrik fəzasında bunun tərsi də doğru olarsa, yəni hər bir fundamental ardıcıllıq yığılarsa, belə metrik fəza tam metrik fəza adlanır.

Nümunə. $\bbR$ tam metrik fəzadır. Amma bu fəzadakı metrikaya nəzərən $\bbQ$ çoxluğu tam metrik fəza deyil. Məsələn, $\pi$ ədədinin onluq yaxınlaşmalarından ibarət $3$, $3.1$, $3.14$, $3.141$, $3.1415$, $\ldots$ ardıcıllığı $\bbQ$ metrik fəzasında fundamentaldır, amma bu fəzada heç bir elementə yığılmır.

Nümunə. $C[a,b]$ fəzasında $x_n$ ardıcıllığının $x$ elementinə yığılması $x_n(t)$ funksiyalar ardıcıllığının $x(t)$ funksiyasına müntəzəm yığılması deməkdir. Müntəzəm yığılan kəsilməz funksiyalar ardıcıllığının limitinin kəsilməz olmasından çıxır ki, $C[a,b]$ fəzası da tam metrik fəzadır.

Tutaq ki, $X$ və $Y$ metrik fəzalardır və $x_0 \in X$. Əgər $f \colon X \to Y$ inikası
$$\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta,\ \forall x \in X,\ \rho_X(x, x_0) < \delta \colon \rho_Y(f(x), f(x_0)) < \varepsilon$$
şərtini ödəyərsə, bu inikas $x_0$ nöqtəsində kəsilməz inikas adlanır. Metrik fəzanın bütün nöqtələrində kəsilməz inikasa bu metrik fəzada kəsilməz inikas deyilir.

Əgər $f \colon X \to Y$ qarşılıqlı birqiymətli inikası ixtiyari $x$ və $y$ elementləri üçün $\rho_X(x, y) = \rho_Y(f(x), f(y))$ bərabərliyini ödəyərsə belə inikas izometriya adlanır. Aralarında izometriya mövcud olan metrik fəzalara izometrik metrik fəzalar deyilir.