Freşe və Qato törəmələri

$\newcommand{\bbC}{\mathbb{C}}$
$\newcommand{\bbR}{\mathbb{R}}$

Freşe törəməsi

Tutaq ki, $X$, $Y$ normalı fəzalardır, $U \subset X$ açıq çoxluqdur və $F \colon U \to Y$ inikasdır. Əgər $x \in U$ nöqtəsi üçün elə $A \in \mathcal{B}(X, Y)$ operatoru varsa ki,
$$F(x+h) - F(x) = Ah + o(\|h\|)$$
bərabərliyi ödənsin, onda deyirlər ki, $F$ inikası $x$ nöqtəsində Freşe mənada (və ya güclü) diferensiallanır. Bu zaman $A$ operatoru $F$ inikasının $x$ nöqtəsindəki Freşe (və ya güclü) törəməsi adlanır və $F'(x)$ ilə işarə olunur.

Çalışma. Əgər $F$ inikası $x$ nöqtəsində Freşe mənada diferensiallanırsa, onda bu inikasın həmin nöqtədəki Freşe törəməsi yeganədir.

Nümunə. İxtiyari $c \in Y$ üçün $F(x) = c$ sabit inikası hər bir $x \in X$ nöqtəsində Freşe mənada diferensiallanır və $F'(x) = 0$.

Nümunə. İxtiyari $A \in \mathcal{B}(X, Y)$ inikası hər bir $x \in X$ nöqtəsində Freşe mənada diferensiallanır və $A'(x) = A$.

Çalışma. Əgər $F$ inikası $x$ nöqtəsində Freşe mənada diferensiallanırsa, onda bu inikas həmin nöqtədə kəsilməzdir.

Lemma. Tutaq ki, $F$, $G$ inikasları $x$ nöqtəsində Freşe mənada diferensiallanır və $a \in \bbC$. Onda $F+G$, $aF$ inikasları da $x$ nöqtəsində Freşe mənada diferensiallanır və
$$(F+G)'(x) = F'(x) + G'(x), \qquad (aF)'(x) = aF'(x).$$
İsbatı. $$(F+G)(x+h) = F(x+h) + G(x+h) = F(x) + G(x) + (F'(x) + G'(x))h + o(\|h\|),$$
$$(aF)(x+h) = aF(x) + aF'(x)h + o(\|h\|).$$
$\square$

Lemma. Tutaq ki, $X$, $Y$, $Z$ normalı fəzalardır, $U \subset X$, $V \subset Y$ açıq çoxluqlardır, $F \colon U \to Y$, $G \colon V \to Z$ inikaslardır, $x \in U$ və $F(x) \in V$. Əgər $F$ inikası $x$ nöqtəsində, $G$ inikası isə $F(x)$ nöqtəsində Freşe mənada diferensiallanırsa, onda $GF$ inikası da $x$ nöqtəsində Freşe mənada diferensiallanır və
$$(GF)'(x) = G'(F(x)) F'(x).$$
İsbatı. \begin{multline*} GF(x+h) = G(F(x) + F'(x)h + o(\|h\|)) = \\ = GF(x) + G'(F(x))(F'(x)h + o(\|h\|)) + o(\|h\|) = \\ = GF(x) + G'(F(x))F'(x)h + o(\|h\|). \end{multline*}
$\square$

Qato törəməsi

Tutaq ki, $X$, $Y$ normalı fəzalardır, $U \subset X$ açıq çoxluqdur və $F \colon U \to Y$ inikasdır. Əgər $x \in U$ nöqtəsi üçün elə $A \in \mathcal{B}(X, Y)$ operatoru varsa ki, hər bir $h \in X$ üçün
$$\lim_{t \to 0} \frac{F(x+th) - F(x)}{t} = Ah$$
bərabərliyi ödənsin, onda deyirlər ki, $F$ inikası $x$ nöqtəsində Qato mənada (və ya zəif) diferensiallanır. Bu zaman $A$ operatoru $F$ inikasının $x$ nöqtəsindəki Qato (və ya zəif) törəməsi adlanır və $F'_{w}(x)$ ilə işarə olunur.

Çalışma. Əgər $F$ inikası $x$ nöqtəsində Freşe mənada diferensiallanırsa, onda bu inikas həmin nöqtədə Qato mənada da diferensiallanır və Qato törəməsi Freşe törəməsi ilə üst-üstə düşür.

Qeyd. İnikasın Qato mənada diferensiallanmasından onun kəsilməzliyi çıxmır. Məsələn,
$$f(x_1, x_2) = \begin{cases} \dfrac{x_1^3 x_2}{x_1^6 + x_2^2}, & x_1^2 + x_2^2 \ne 0, \\ 0, & x_1^2 + x_2^2 = 0 \end{cases}$$
inikası $(0,0)$ nöqtəsində Qato mənada diferensiallanır və onun Qato törəməsi sıfır inikasa bərabərdir, çünki ixtiyari $(h_1, h_2) \in \bbR^2$ üçün
$$\lim_{t \to 0} \frac{f(th_1,th_2) - f(0,0)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{t h_1^3 h_2}{t^4 h_1^6 + h_2^2} = 0.$$
Amma həmin nöqtədə $f$ inikası kəsilməz deyil:
$$\lim_{h_1 \to 0} f(h_1, h_1^3) = \frac{1}{2} \ne 0.$$

Həmçinin, kəsilməz inikasın Qato mənada diferensiallanmasından da onun Freşe mənada diferensiallanması çıxmır. Məsələn,
$$f(x_1, x_2) = \begin{cases} \dfrac{x_1^3 x_2}{x_1^4 + x_2^2}, & x_1^2 + x_2^2 \ne 0, \\ 0, & x_1^2 + x_2^2 = 0 \end{cases}$$
inikası bütün nöqtələrdə kəsilməzdir, $(0,0)$ nöqtəsində Qato mənada diferensiallanır və onun Qato törəməsi sıfır inikasa bərabərdir, çünki ixtiyari $(h_1, h_2) \in \bbR^2$ üçün
$$\lim_{t \to 0} \frac{f(th_1,th_2) - f(0,0)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{t h_1^3 h_2}{t^2 h_1^4 + h_2^2} = 0.$$
Əgər həmin nöqtədə bu inikas Freşe mənada diferensiallansaydı, onda onun Freşe törəməsi də sıfır inikas olmalı idi, amma
$$\lim_{h_1 \to +0} \frac{f(h_1, h_1^2) - f(0,0)}{\|(h_1, h_1^2)\|} = \lim_{h_1 \to +0} \frac{h_1^5}{2 h_1^4 \sqrt{h_1^2 + h_1^4}} = \frac{1}{2} \ne 0.$$