Simmetrik operatorlar
\newcommand{\frH}{H}
Təyin oblastı \frH Hilbert fəzasında hər yerdə sıx olan və T \subset T^{\ast}, yəni
\langle Tx, y \rangle = \langle x, Ty \rangle, \quad x, y \in \mathsf{D}(T)
şərtini ödəyən T xətti operatoru simmetrik operator adlanır.
Hər bir qoşma operator qapalı olduğu üçün hər bir simmetrik operator qapanabilən operatordur.
Teorem. (Hellinqer–Töplits) Bütün \frH fəzasında təyin olunmuş simmetrik operator məhduddur.
İsbatı. Əksini fərz edək. Tutaq ki, bütün \frH fəzasında təyin olunmuş T simmetrik operatoru qeyri-məhduddur. Onda elə y_n \in \frH ardıcıllığı tapmaq olar ki,
\|y_n\| = 1, \quad \|Ty_n\| \to \infty.
\frH fəzasında
f_n(x) := \langle Tx, y_n \rangle = \langle x, Ty_n \rangle, \quad n = 1, 2, \ldots
xətti məhdud funksionallar ardıcıllığına baxaq. Hər bir qeyd olunmuş x \in \frH elementi üçün f_n(x) ardıcıllığı məhduddur. Onda Banax–Şteynhaus teoreminə görə \|f_n\| ardıcıllığı, yəni \|Ty_n\| ardıcıllığı da məhdud olmalıdır. Ziddiyyət aldıq.
\square
Teorem. Simmetrik operatorun məxsusi ədədləri həqiqidir, müxtəlif məxsusi ədədlərə uyğun məxsusi vektorları isə bir-birinə ortoqonaldır.
İsbatı. Tutaq ki,
Tx = \lambda x, \quad x \ne 0.
Onda
\lambda \langle x, x \rangle = \langle Tx, x \rangle = \langle x, Tx \rangle = \overline{\lambda} \langle x, x \rangle
bərabərliyindən \lambda = \overline{\lambda}, yəni \lambda ədədinin həqiqi olması alınır.
İndi isə \lambda_1 \ne \lambda_2 həqiqi ədədləri üçün
Tx_1 = \lambda_1 x_1, \quad Tx_2 = \lambda_2 x_2
olsun. Onda
\lambda_1 \langle x_1, x_2 \rangle = \langle Tx_1, x_2 \rangle = \langle x_1, Tx_2 \rangle = \lambda_2 \langle x_1, x_2 \rangle
bərabərliyində \lambda_1 \ne \lambda_2 olduğu üçün
\langle x_1, x_2 \rangle = 0.
\square