Qapalı operatorlar

$\newcommand{\frH}{H}$

Tutaq ki, $\frH$ Hilbert fəzasında $T$ xətti operatoru verilmişdir.

Onda $\Gamma(T) := \{ (x, Tx) \mid x \in \mathsf{D}(T) \} \subset \frH \times \frH$ çoxluğuna $T$ operatorunun qrafiki deyilir.
Çalışma. Verilmiş $S \subset \frH \times \frH$ xətti altfəzasının hər hansı xətti operatorun qrafiki olması üçün zəruri və kafi şərt $(0, y) \in S$ olmasından $y = 0$ çıxmasıdır.
Əgər $T$ və $T_1$ operatorları üçün $\Gamma(T_1) \supset \Gamma(T)$, başqa sözlə desək $\mathsf{D}(T_1) \supset \mathsf{D}(T)$ və $T_1 x = T x, x \in \mathsf{D}(T)$ olarsa, onda $T_1$ operatoru $T$ operatorunun genişlənməsi, $T$ operatoru isə $T_1$ operatorunun daralması adlanır və $T_1 \supset T$ və ya $T \subset T_1$ kimi işarə olunur.
Əgər $T$ xətti operatorunun $\Gamma(T)$ qrafiki $\frH \times \frH$ fəzasında qapalı çoxluq olarsa, yəni
$$\mathsf{D}(T) \ni x_n \to x, \quad T x_n \to y$$
olmasından
$$x \in \mathsf{D}(T), \quad Tx = y$$
olması alınarsa, onda bu operator qapalı operator adlanır.
Çalışma. Bütün fəzada təyin olunmuş hər bir kəsilməz xətti operator qapalıdır.

Əgər $\overline{\Gamma(T)}$ xətti altfəzası müəyyən $\overline{T}$ xətti operatorunun qrafiki olarsa, yəni $\overline{\Gamma(T)} = \Gamma(\overline{T})$, onda $T$ operatoru qapanabilən operator, $\overline{T}$ operatoru isə $T$ operatorunun qapanması adlanır.
Nümunə. $L_2(0,1)$ fəzasında təyin oblastı $\mathsf{D}(T) = C[0,1]$ olan $T \colon x(t) \mapsto tx(1)$ xətti operatoru qapanabilən operator deyil. Çünki, məsələn, $x_n(t) = t^n \to 0$ və $tx_n(1) = t$ olduğu üçün $(0,t) \in \overline{\Gamma(T)}$.
Çalışma. $T$ operatorunun $\overline{T}$ qapanması onun qapalı genişlənmələrinin ən kiçiyidir, yəni $T$ operatorunun ixtiyari $S$ qapalı genişlənməsi üçün $\overline{T} \subset S$.

$\mathsf{D}(T)$ xətti fəzasında
$$\|x\|_T := \left( \|x\|^2 + \|Tx\|^2 \right)^{1/2}$$
ifadəsi ilə təyin olunan norma qrafik norması adlanır.

Teorem. $T$ operatorunun qapalı operator olması üçün zəruri və kafi şərt $\mathsf{D}(T)$ çoxluğunun qrafik normasına nəzərən tam olmasıdır.
İsbatı. Əvvəlcə fərz edək ki, $T$ qapalıdır. Əgər $x_n$ ardıcıllığı qrafik normasına nəzərən fundamentaldırsa, onda $x_n$ və $Tx_n$ ardıcıllıqları $\frH$ Hilbert fəzasında fundamental ardıcıllıqlardır. Ona görə də, elə $x$, $y \in \frH$ elementləri var ki, $x_n \to x$, $Tx_n \to y$. $T$ qapalı olduğu üçün $x \in \mathsf{D}(T)$, $Tx = y$. Bu halda,
$$\| x_n-x \|_T^2 = \| x_n-x \|^2 + \| Tx_n - y \|^2 \to 0, \quad n \to \infty.$$
Beləliklə, $\mathsf{D}(T)$ tamdır.

İndi isə fərz edək ki, $\mathsf{D}(T)$ tamdır. Əgər $\mathsf{D}(T) \ni x_n \to x$, $T x_n \to y$ olarsa, onda $x_n$ və $Tx_n$ ardıcıllıqları $\frH$ Hilbert fəzasında fundamental ardıcıllıqlar olar və ona görə də $x_n$ ardıcıllığı qrafik normasına nəzərən fundamentaldır. $\mathsf{D}(T)$ tam olduğu üçün elə $x_0 \in \mathsf{D}(T)$ var ki, $\| x_n-x_0 \|_T \to 0$, yəni $x_n \to x_0$, $Tx_n \to Tx_0$. Onda $x = x_0 \in \mathsf{D}(T)$, $Tx = Tx_0 = y$.
$\square$