2. Топологическая классификация точек множеств

Определение 2.1. Пусть $x \in \mathbb {R}, \varepsilon > 0$.

1. $B_\varepsilon (x) = \{ y \in \mathbb {R}\colon |y - x| < \varepsilon \}$ — $\varepsilon$ окрестность точки $x$.

2. $B_\varepsilon ^\circ (x) = B_\varepsilon ’(x) = B_\varepsilon (x) \backslash \{ x\} = \{ y \in \mathbb {R}\colon 0 < |y - x| < \varepsilon \}$ — проколотая $\varepsilon$ окрестность точки $x$.

Замечание. В дальнейшем, говоря об $\varepsilon$-окрестности, будем считать, что $\varepsilon >0$.

По отношению к множеству $E$ любая точка является точкой одного из следующих типов.

Определение 2.2.

1. Точка $x$ называется внутренней точкой $E \subset \mathbb {R}$, если $\exists \varepsilon >0\colon B_\varepsilon (x) \subset E$.

   $\mathop {\mathrm{int}} E$ — множество всех внутренних точек.

2. Точка $x$ называется внешней точкой $E \subset \mathbb {R}$, если $\exists \varepsilon >0\colon B_\varepsilon (x) \subset \mathbb {R}\backslash E$.

   $\mathop {\mathrm{ext}} E$ — множество всех внешних точек.

3. Точка $x$ называется граничной точкой $E \subset \mathbb {R}$, если $\forall \varepsilon >0\colon B_\varepsilon (x) \cap E \neq \varnothing$ и

   $B_\varepsilon (x) \cap \mathbb {R}\backslash E \neq \varnothing$.

   $\partial E$ — множество всех граничных точек.

Замечание. Из определения непосредственно вытекает, что $\mathop {\mathrm{ext}} E = \mathop {\mathrm{int}}(\mathbb {R}\backslash E)$, $\mathop {\mathrm{int}} E \subset E$.

Определение 2.3. Множество $E \subset \mathbb {R}$ называется открытым, если все его точки внутренние (т.е. $E \subset \mathop {\mathrm{int}} E$).

Определение 2.4. Множество $E \subset \mathbb {R}$ называется замкнутым, если $\mathbb {R}\backslash E$ — открыто.

Теорема 2.1.

1. a) $G_\lambda , \lambda \in \Lambda$ — открытые множества $\Rightarrow \bigcup \limits _{\lambda \in \Lambda } G_\lambda$ — открытое множество.

   b) $G_1, \ldots , G_ n$ — открытые множества $\Rightarrow \bigcap \limits _{k=1}^{\smash {n}} G_ k$ — открытое множество.

2. a) $F_\lambda , \lambda \in \Lambda$ — замкнутые множества $\Rightarrow \bigcap \limits _{\lambda \in \Lambda } F_\lambda$ — замкнутое множество.

   b) $F_1, \ldots , F_ n$ — замкнутые множества $\Rightarrow \bigcup \limits _{k = 1}^{\smash {n}} F_ k$ — замкнутое множество.

$\blacktriangle$ 1.а) $x \in \bigcup \limits _{\lambda \in \Lambda } G_\lambda \Rightarrow \exists \lambda _0\in \Lambda \colon x\in G_0$. $G_0$ — открыто $\Rightarrow \exists B_\varepsilon (x) \subset G_{\lambda _0} \subset \bigcup \limits _{\lambda \in \Lambda } G_\lambda$, т.е. $x$ — внутренняя точка $\bigcup \limits _{\lambda \in \Lambda } G_\lambda \Rightarrow \bigcup \limits _{\lambda \in \Lambda } G_\lambda$ — открытое.

1.б) $x \in \bigcap \limits _{k=1}^{\smash {n}} G_ k \Rightarrow x \in G_ k\ \forall k = 1, \ldots , n$. $G_ k$ — открыто $\Rightarrow \exists B_{\varepsilon _ k}(x) \subset G_ k, k = 1, \ldots , n$. Положим $\varepsilon = \min (\varepsilon _ k) \Rightarrow B_\varepsilon (x) \subset B_{\varepsilon _ k}(x) \subset G_ k, k=1, \ldots , n \Rightarrow$ $B_\varepsilon (x) \subset \bigcap \limits _{k=1}^{\smash {n}} G_ k$, т.е. $x$ — внутрення точка $\bigcap \limits _{k=1}^{\smash {n}} G_ k \Rightarrow$ $\bigcap \limits _{k=1}^{\smash {n}} G_ k$ — открыто.

2.а) $\mathbb {R}\backslash (\bigcap \limits _{\lambda \in \Lambda } F_\lambda ) = \bigcup \limits _{\lambda \in \Lambda } (\mathbb {R}\backslash F_\lambda )$ — открытое $\Rightarrow \bigcap \limits _{\lambda \in \Lambda } F_\lambda$ — замкнутое.

2.б) $\mathbb {R}\backslash (\bigcup \limits _{k=1}^ n F_ k) = \bigcap \limits _{k=1}^ n (\mathbb {R}\backslash F_ k)$ — открытое $\Rightarrow \bigcup \limits _{k=1}^ n F_ k$ — замкнутое. $\blacksquare$

Замечание. Пересечение произвольного числа открытых множеств и не быть открытым множеством.

Пример: $\bigcap \limits _{n=1}^\infty \left( -\frac1n, \frac1n \right) = \{ 0\}$.

Определение 2.5. Число элементов множества $A$ равно единице, если $\exists a\in A\colon A \backslash \{ a\} = \varnothing$.

Пусть определено, что число элементов множества равно $n$, тогда по определению число элементов множества $A$ равно $n+1$, если $\exists a\in A\colon A\backslash \{ a\}$ имеет $n$ элементов.

Определение 2.6. Множество $A$ называют конечным, если либо $A = \varnothing$, либо $\exists n\in \mathbb {N}\colon A$ имеет $n$ элементов. В противном случае множество называется бесконечным.

Определение 2.7. Точка $x$ называется предельной точкой множества $E \subset \mathbb {R}$, если
$\forall \varepsilon > 0\colon B_\varepsilon ’ (x) \cap E \neq \varnothing$.

Лемма 2.1. $x$ — предельная точка множества $E$ $\Leftrightarrow$ $\forall \varepsilon >0\colon B_\varepsilon (x) \cap E$ — бесконечное множество.

$\blacktriangle$ $(\Rightarrow )$ Пусть точка $x$ — предельная точка $E$. $\forall \varepsilon >0\colon B_\varepsilon ’(x)\cap E$ — конечно $\Rightarrow$

$B_\varepsilon ’(x)\cap E = \{ x_1, \ldots , x_ n\}$. $\delta := \min \{ |x-x_ i|\} > 0$. Рассмотрим $B_\delta ’(x)\cap E=\varnothing$.!!!

$(\Leftarrow )$ $\forall \varepsilon >0\colon B_\varepsilon (x)\cap E$ — бесконечное множество $\Rightarrow$ $B_\varepsilon ’(x)\cap E \neq \varnothing$. $\blacksquare$

Теорема 2.2. Следующие критерии замкнутости эквивалентны:

1. $E$ — замкнуто.

2. $E$ содержит все свои граничные точки.

3. $E$ содержит все свои предельные точки.

$\blacktriangle$ ($1\Rightarrow 2$) Пусть $x\in \mathbb {R}\backslash E \Rightarrow \exists B_\varepsilon (x)\subset \mathbb {R}\backslash E \Rightarrow$ $x\in \mathop {\mathrm{ext}} E \Rightarrow x\notin \partial E \Rightarrow$ $\partial E\subset E$.

($2\Rightarrow 3$) $x$ — предельная точка $E$ $\Rightarrow x\notin \mathop {\mathrm{ext}}\ E$. Тогда либо $x\in \mathop {\mathrm{int}}\ E \Rightarrow x\in E$, либо $x\in \partial E \Rightarrow$ $x\in E$.

($3\Rightarrow 1$) $x\in \mathbb {R}\backslash E \Rightarrow x$ — не предельная точка $E \Rightarrow$ $\exists \varepsilon >0\colon B_\varepsilon ’(x)\cap E = \varnothing \Rightarrow$ $B_\varepsilon (x)\cap E = \varnothing \Rightarrow$ $B_\varepsilon (x)\subset \mathbb {R}\backslash E \Rightarrow$ $\mathbb {R}\backslash E$ — открыто $\Rightarrow$ $E$ — замкнуто. $\blacksquare$

Теорема 2.3. Любое непустое замкнутое ограниченное сверху (или снизу) множество имеет максимальный (или минимальный) элемент.

$\blacktriangle$ Пусть $F$ — непустое замкнутое ограниченное сверху множество. $S = \sup F$. Покажем, что $S = \max F$, тогда осталось доказать, что $S \in F$. Т.к. $S = \sup F$, то $\forall \varepsilon > 0\ \exists x’ \in F\colon x’ \in (S-\varepsilon , S]$, т.е. $(S-\varepsilon , S] \cap F \not= \varnothing$.

Имеется две возможности:

1. $\forall \varepsilon > 0\ (S - \varepsilon , S) \cap F \not= \varnothing \Rightarrow B_\varepsilon ’(S) \cap F \not= \varnothing \Rightarrow$ $S$ — предельная точка $F$ $\Rightarrow S \in F$ (по Т2).

2. $\exists \varepsilon > 0\ (S - \varepsilon , S) \cap F = \varnothing \Rightarrow S \in F$. $\blacksquare$

Определение 2.8. 1) Система $\{ G_\lambda \colon \lambda \in \Lambda \}$ называется покрытием множества $E$, если
$\bigcup \limits _{\lambda \in \Lambda } G_\lambda \supset E$.

2) $\forall \lambda \in \Lambda \ G_\lambda$ — открытое, то покрытие $\{ G_\lambda \colon \lambda \in \Lambda \}$ называют открытым.

Теорема 2.4 (Гейне Борель). $\{ G_\lambda \colon \lambda \in \Lambda \}$ — открытое покрытие $[a, b] \Rightarrow$ $\exists \lambda _1, \ldots , \lambda _ n \in \Lambda ,$ $G_{\lambda _1} \cup \ldots \cup G_{\lambda _ n} \supset [a, b]$.

$\blacktriangle$ Предположим, что из открытого покрытия $\{ G_\lambda \colon \lambda \in \Lambda \}$ отрезка $[a, b]$, нельзя выбрать конечной подпоследовательности таких покрытий $[a, b]$.

Положим, $[a_1, b_1] = [a, b]$, поделим $[a_1, b_1]$ пополам. Тогда хотя бы один из $[a_1, \frac{a_1 + b_1}{2}]$, $[\frac{a_1 + b_1}{2}, b_1]$ нельзя покрыть конечным числом $G_\lambda$. Обозначим этот отрезок $[a_2, b_2]$, тогда хотя бы одну из его половин нельзя покрыть конечным числом $G_\lambda$, обозначим его за $[a_3, b_3]$.

Продолжим процесс $\{ [a_ n, b_ n]\} _{n=1}^\infty \colon$

1. $\forall n\in \mathbb {N}\colon [a_ n, b_ n] \supset [a_{n+1}, b_{n+1}]$.

2. Ни один из $[a_ n, b_ n]$ нельзя покрыть конечным числом $G_\lambda$.

3. $\forall n \in N, b_ n - a_ n = \frac{b - a}{2^{n-1}}$, т.е $\{ [a_ n, b_ n]\} _{n=1}^\infty$ — стягивающаяся. По принципу вложенных отрезков $\exists c \in \bigcap \limits _{n=1}^\infty [a_ n, b_ n], c\in [a_1, b_1]\subset \bigcup \limits _{\lambda \in \Lambda } G_\lambda$, $c \in \bigcup \limits _{\lambda \in \Lambda } G_\lambda \Rightarrow$ $\exists \lambda _0 \in \Lambda \colon c \in G_{\lambda _0}$, но $G_{\lambda _0}$ — открытое множество $\Rightarrow \exists \varepsilon > 0\ B_\varepsilon (c) \subset G_{\lambda _0}$, т.к. $\{ [a_ n, b_ n]\} _{n=1}^\infty$ — стягивающаяся, то $\exists k \in N, b_ k - a_ k < \varepsilon$. Итак $c \in [a_ k, b_ k], b_ k-a_ k < \varepsilon \Rightarrow$ $[a_ k, b_ k] \subset B_\varepsilon (c) \Rightarrow$ $[a_ k, b_ k] \subset G_{\lambda _0}$, то есть $[a_ k, b_ k]$ — покрыт одним элементом $G_{\lambda _0}$ покрытия, получаем противоречие. $\blacksquare$

Следствие:

$F$ — замкнутое ограниченное множество. $\{ G_\lambda \colon \lambda \in \Lambda \}$ — открытое покрытие $F$ $\Rightarrow$
$\exists \lambda _1, \ldots , \lambda _ n \in \Lambda$, $G_{\lambda _1}\cup \ldots \cup G_{\lambda _ n} \supset F$.

$\blacktriangle$ $F$ — замкнутое множество $\Rightarrow \exists [m, M]\colon [m, M] \supset F$. Пусть $A = \{ G_\lambda \colon \lambda \in \Lambda \}$ — открытое покрытие $F$.

$A’ = \{ G_\lambda , \lambda \in \Lambda \} \cup \{ \mathbb {R}\backslash F\} \colon \bigcup \limits _{\lambda \in \Lambda } G_\lambda \cup (\mathbb {R}\backslash F) \supset F \cup (\mathbb {R}\backslash F) \supset \mathbb {R}$.

По Т4. $\exists A” \subset A’$ — конечное покрытие $[m, M]$.

Имеется 2 возможности:

1. $\mathbb {R}\backslash F \not\in A” = \{ G_{\lambda _1}, \ldots , G_{\lambda _ n}\} , \bigcup \limits _{i=1}^ n G_{\lambda _ i} \supset [m, M] \supset F$

2. $\mathbb {R}\backslash F \in A” \Rightarrow A” \backslash \{ \mathbb {R}\backslash F\} = \{ G_{\lambda _1}, \ldots , G_{\lambda _ n}\} . \bigcup \limits _{i=1}^ n G_{\lambda _ i} \supset [m, M] \backslash (\mathbb {R}\backslash F) = F$. $\blacksquare$

Теорема 2.5 (О существовании предельной точки). Любое бесконечное ограниченное множество имеет хотя бы одну предельную точку.

$\blacktriangle$ Пусть $E$ — бесконечное ограниченное множество. Приведем два различных доказательства.

Доказательство 1. От противного:

Предположим, $E$ не имеет предельной точки. $\varnothing \subset E \Rightarrow E$ — замкнутое множество.

Если $x \in E \Rightarrow x$ — не является предельной точкой для $E \Rightarrow \exists \varepsilon _ x > 0\colon B_{\varepsilon _ x}’(x) \cap E= \varnothing$, значит $B_{\varepsilon _ x}(x) \cap E = \{ x\}$.

Рассмотрим $\{ B_{\varepsilon _ x}(x)\colon x \in E\}$ — открытое покрытие $E \Rightarrow \exists x_1, \ldots , x_ n \in E\colon \bigcup \limits _{k=1}^ n B_{\varepsilon _{x_ k}}(x) \supset E$, но из каждого $B_{\varepsilon _{x_ k}}(x)$ только 1 точка содержится в $E$ $\Rightarrow$ $E$ — конечное. !!!

Доказательство 2.

$E$ — ограниченное множество $\Rightarrow$ $\exists [a_1, b_1] \supset E$. Разделим $[a_1, b_1]$ пополам, тогда хотя бы один из отрезков $[a_1, \frac{a_1 + b_1}{2}], [\frac{a_1 + b_1}{2}, b_1]$ содержит бесконечно много элементов из $E$, обозначим его за $[a_2, b_2]$, разделим $[a_2, b_2]$ пополам и обозначим через $[a_3, b_3]$ тот отрезок, в котором бесконечно много чисел из $E$. Будем продолжать и тогда получим $\{ [a_ n, b_ n]\} _{n=1}^\infty$.

1) $\forall n\in \mathbb {N}\colon [a_ n, b_ n] \supset [a_{n+1}, b_{n+1}]$.

2) $\forall n\in \mathbb {N}\colon [a_ n, b_ n] \cap E$ — бесконечное множество.

3) $\forall n \in \mathbb {N}, b_ n - a_ n = \frac{b - a}{2^{n-1}}$.

По принципу вложенных отрезков (Т1.4) $\exists c \in \bigcap \limits _{k=1}^\infty [a_ k, b_ k]$.

Покажем, что $c$ — предельная точка $E$, возьмем $\varepsilon > 0$. Т.к. $\{ [a_ n, b_ n]\} _{n=1}^\infty$ — стягивающаяся, то $\exists k\in \mathbb {N}, b_ n - a_ n < \varepsilon$.

Итак, $c \in [a_ k, b_ k], b_ k - a_ k < e \Rightarrow \lbrack a_ k, b_ k] \subset B_\varepsilon (c)$ $\stackrel{\mbox{П.2}}{\Rightarrow }$ $B_\varepsilon (c) \cap E$ — бесконечное множество $\stackrel{\mbox{Л.1}}{\Rightarrow }$ $c$ — предельная точка $E$. !!! $\blacksquare$