5.6. Гиперболические и обратные гиперболические функции

$\mathop {\rm sh}\nolimits x = \frac{e^ x - e^{-x}}2,\qquad$ $\mathop {\rm ch}\nolimits x = \frac{e^ x + e^{-x}}2,\qquad$ $\mathop {\rm th}\nolimits x = \frac{\mathop {\rm sh}\nolimits x}{\mathop {\rm ch}\nolimits x},\qquad$ $\mathop {\rm cth}\nolimits x = \frac{\mathop {\rm ch}\nolimits x}{\mathop {\rm sh}\nolimits x}$.

$\mathop {\rm arsh}\nolimits x$ — ариа-синус гиперболический — обратная функция к $\mathop {\rm sh}\nolimits x$ на $\mathbb {R}$.

$\mathop {\rm arch}\nolimits x$ — ариа-косинус гиперболический — обратная функция к $\mathop {\rm ch}\nolimits x$ на $[0; +\infty )$.

$\mathop {\rm arth}\nolimits x$ — ариа-тангенс гиперболический — обратная функция к $\mathop {\rm th}\nolimits x$ на $\mathbb {R}$.

$\mathop {\rm arcth}\nolimits x$ — ариа-котангенс гиперболический — обратная функция к $\mathop {\rm cth}\nolimits x$ на $\mathbb {R}\backslash \{ 0\}$.

Задача 1. Доказать, что обратные гиперболические функции являются элементарными.

Пример. $\lim \limits _{x\to 0} \frac{\mathop {\rm sh}\nolimits x}{x} = 1$.

$\blacktriangle$  $\lim \limits _{x\to 0} \frac{\mathop {\rm sh}\nolimits x}{x} = \lim \limits _{x\to 0} \frac{e^ x - e^{-x}}{2x} = \lim \limits _{x\to 0} \frac12 (\frac{e^ x-1}{x} + \frac{e^{-x}-1}{-x}) = 1$. $\blacksquare$