6.3. Правила дифференцирования

Теорема 6.4. Если $f\colon E\to \mathbb {R}, g\colon E\to \mathbb {R}$ дифференцируемы в точке $x_0$, то в этой точке дифференцируемы функции $f\pm g$, $f\cdot g$, и если $g(x_0)\neq 0$, то также $\frac{f}{g}$, причём

1. $(f\pm g)'(x_0) = f'(x_0) \pm g'(x_0), \hspace{2.5cm} d(f \pm g)(x_0) = df(x_0) \pm dg(x_0)$.

2. $(fg)'(x_0) = f'(x_0)g(x_0) + f(x_0)g'(x_0), \hspace{1.1cm} d(fg)(x_0) = g(x_0)df(x_0) + f(x_0)dg(x_0)$.

3. $\left( \frac{f}{g} \right)'(x_0) = \frac{g(x_0)f'(x_0) - f(x_0)g'(x_0)}{g^2(x_0)}$, $\hspace{2cm}$ $d\left( \frac{f}{g} \right)(x_0) = \frac{g(x_0)df(x_0) - f(x_0)dg(x_0)}{g^2(x_0)}$.

$\blacktriangle$ Установим формулы для производных. Формулы для дифференциалов получаются домножением обеих частей соответствующих формул для производных на $dx$.

1. Т.к. $\Delta (f \pm g) = (f(x) \pm g(x)) - (f(x_0) \pm g(x_0)) = \Delta f \pm \Delta g$, то

   $(f\pm g)'(x_0) = \lim \limits _{\Delta x\to 0} \frac{\Delta (f\pm g)}{\Delta x} =$ $\lim \limits _{\Delta x\to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} \pm \lim \limits _{\Delta x\to 0} \frac{\Delta g}{\Delta x} = f'(x_0) \pm g'(x_0)$.

2. Т.к. $\Delta (fg) = f(x)g(x) - f(x_0)g(x_0) = g(x)(f(x) - f(x_0)) + f(x_0)(g(x) - g(x_0)) =$

   $=g(x)\Delta f + f(x_0)\Delta g$, то

   $(fg)' = \lim \limits _{\scriptscriptstyle \Delta x\to 0} \frac{\Delta (fg)}{\Delta x} =$ $\lim \limits _{\scriptscriptstyle \Delta x\to 0} (g(x) \frac{\Delta f}{\Delta x} + f(x_0) \frac{\Delta g}{\Delta x}) =$ $\lim \limits _{\scriptscriptstyle \Delta x\to x_0} g(x) \frac{\Delta f}{\Delta x} + f(x_0) \lim \limits _{x\to x_0} \frac{\Delta g}{\Delta x} =$

   $=g(x_0) f'(x_0) + f(x_0) g'(x_0)$.

3. По Т6.2 из дифференцируемости функции $g$ точке $x_0$ следует её непрерывность в этой точке и, значит, по свойству отделимости, $g(x) \neq 0$ в окрестности $B_\delta (x_0)$. Пусть $x \in B_\delta (x_0)$, тогда $\Delta \left( \frac{f}{g} \right) = \frac{f(x)}{g(x)} - \frac{f(x_0)}{g(x_0)} =$ $\frac{ g(x_0)(f(x) - f(x_0)) - f(x_0)(g(x) - g(x_0)) }{ g(x)g(x_0) } =$ $\frac{g(x_0)\Delta f - f(x_0)\Delta g}{g(x)g(x_0)}$ и, значит,

   $\left( \dfrac {f}{g} \right)'(x_0) = \lim \limits _{\scriptscriptstyle \Delta x\to 0} \dfrac {\Delta \left(\frac{f}{g}\right)}{\Delta x} =$ $\dfrac {g(x_0) \lim \limits _{\scriptscriptstyle \Delta x\to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} - f(x_0) \lim \limits _{\scriptscriptstyle \Delta x\to 0} \frac{\Delta g}{\Delta x}}{g(x_0) \lim \limits _{\scriptscriptstyle \Delta x\to 0} g(x_0+\Delta x)} =$ $\dfrac {g(x_0)f'(x_0) - f(x_0)g'(x_0)}{g^2(x_0)}$. $\blacksquare$

Следствие. Если $f\colon E\to \mathbb {R}$ дифференцируема в $x_0, c \in \mathbb {R}$, то $c\cdot f$ дифференцируема в точке $x_0$ и $(cf)'(x_0) = cf'(x_0)$,$d(cf)(x_0) = cdf(x_0)$.

Теорема 6.5 (производная сложной функции). Если $f\colon X\to \mathbb {R}$ дифференцируема в точке $x_0$, $g\colon Y\to \mathbb {R}$ дифференцируема в точке $y_0 = f(x_0)$, то композиция $f\circ g$ дифференцируема в точке $x_0$, и

$$(g\circ f)'(x_0) = g'(y)|_{y=y_0} \cdot f'(x)|_{x=x_0} = g'(y_0) f'(x_0).$$

$\blacktriangle$ По Т6.2 функция $f$ непрерывна в точке $x_0$, функция $g$ непрерывна в точке $y_0$, тогда по Т4.13 о непрерывности композиции сложная функция $z = F(x) \equiv g(f(x))$ определена в некоторой окрестности $B_\delta (x_0)$.

Т.к. $g$ дифференцируема в точке $y_0$, то

$\boldsymbol {(*)}\ \Delta g = g'(y_0)\Delta y + \varepsilon (\Delta y)\Delta y$, где $\varepsilon (\Delta y) \to 0$ при $\Delta y \to 0$.

Пусть $x \in B_\delta '(x_0), y = f(x)$. Тогда $\Delta y = y - y_0 = f(x) - f(x_0) = \Delta f$ и

$$\Delta F = g(f(x)) - g(f(x_0)) = g(y) - g(y_0) = \Delta g.$$

Подставив в $\boldsymbol {(*)}$ $\Delta f$ вместо $\Delta y$ (т.е. считая, что $\Delta y$ вызвано выбором точки $x$) и поделив на $\Delta x = x - x_0$, получим:

$$\frac{\Delta F}{\Delta x} = g'(y_0) \frac{\Delta f}{\Delta x} + \varepsilon (\Delta f) \frac{\Delta f}{\Delta x}.$$

Т.к. $f$ непрерывна в точке $x_0$, то $\Delta f\to 0$ при $\Delta x\to 0$. Доопределим функцию $\varepsilon$ в точке $0$, положив $\varepsilon (0) = 0$, тогда $\varepsilon (\Delta f)\to 0$ при $\Delta x\to 0$ по следствию из Т4.13. Поэтому

$\lim \limits _{\scriptscriptstyle \Delta x\to 0} \frac{\Delta F}{\Delta x} =$ $g'(y_0) \lim \limits _{\scriptscriptstyle \Delta x\to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} + \lim \limits _{\scriptscriptstyle \Delta x\to 0}\varepsilon (\Delta f) \lim \limits _{\scriptscriptstyle \Delta x\to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} =$ $g'(y_0) f'(x_0) + 0 \cdot f'(x_0) =g'(x_0) f'(x_0)$. $\blacksquare$

Теорема 6.6 (производная обратной функции). Если $f$ непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности $B_\Delta (x_0)$ и существует производная $f'(x_0) \neq 0$, то обратная к $f$ (в $B_\Delta (x_0)$) функция $f^{-1}$ дифференцируема в точке $y_0 = f(x_0)$ и

$$(f^{-1})'(y_0) = \frac1{f'(x_0)}.$$

$\blacktriangle$ По теореме об обратной функции на образе $B_\Delta (x_0)$ (т.е. на интервале $f(B_\Delta (x_0))$) определена непрерывная строго монотонная функция $f^{-1}$. Значит, $\Delta y = y - y_0 \to 0 \Leftrightarrow \Delta x = x - x_0 \to 0$, где $y = f(x), x = f^{-1}(y)$. Поэтому

$(f^{-1})'(y_0) = \lim \limits _{\Delta y\to 0} \frac{\Delta f^{-1}}{\Delta y} = \lim \limits _{\Delta y\to 0} \frac{\Delta x}{\Delta y}$ $\stackrel{(*)}{=} \lim \limits _{\Delta x\to 0} \frac1{\frac{\Delta y}{\Delta x}} = \lim \limits _{\Delta x\to 0} \frac1{\frac{\Delta f}{\Delta x}} =$ $\frac1{f'(x_0)}$,

где $(*)$ верно по Т4.10 о замене переменной в пределе. $\blacksquare$

Теорема 6.7 (производная параметрической функции). Если функция $x = x(t)$ непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности $B_\delta (t_0)$, существует $x'(t_0) \neq 0$, функция $y = y(t)$ дифференцируема в точке $t_0$, то обозначая обратную к $x = x(t)$ (в $B_\delta (t_0)$) функцию через $t = t(x)$ и полагая $f(x) = y(t(x))$ в окрестности точки $x_0=x(t_0)$, получим, что функция $f$ дифференцируема в точке $x_0$ и

$$f'(x_0) = \frac{y'(t_0)}{x'(t_0)}.$$

$\blacktriangle$ $f'(x_0) = \frac{d}{dx} y(t(x_0))|_{x=x_0} = y'(t_0)t'(x_0) = \frac{y'(t_0)}{x'(t_0)}$. $\blacksquare$