6.5. Производные и дифференциалы высших порядков
Производные высших порядков определяются индукцией по порядку.
Определение 6.8. Положим f0:=f, f(1):=f′.
Если (n−1)-я производная f(n−1) функции f определена в некоторой δ-окрестности точки x0 и существует (f(n−1))′(x0), то эту производную называют n-й производной функции в точке x0. Обозначают: f(n)(x0),dnfdxn(x0).
Примеры: (aα)(n)=aαlnna.
(xα)(n)=α(α−1)⋅…⋅(α−n+1)xα−n.
(sinx)(n)=sin(x+π2n).
(cosx)(n)=cos(x+π2n).
(lnx)(n)=(1x)(n−1)=(−1)n(n−1)!xn.
Определение 6.9. Функцию, имеющую в точке x (на множестве E) конечные производные до порядка n включительно называет n раз дифференцируемой в точке x (на множестве E).
Определение 6.10. Функцию, имеющую в точке x (на множестве E) конечные производные всех порядков называют бесконечно дифференцируемой в точке x (на множестве E).
Замечание. Из правил дифференцирования следует, что если функции f и g имеют в точке x конечные n-ые производные f(n)(x) и g(n)(x), то функции cf (c∈R), f±g так же имеют в точке x конечные n-ые производные и справедливы формулы:
(cf)(n)(x)=c(f(n))(x).
(f±g)(n)(x)=f(n)(x)±g(n)(x).
Теорема 6.9 (формула Лейбница). Если ∃f(n)(x)∈R и ∃g(n)(x)∈R, то ∃(fg)(n)(x)∈R,
(fg)(n)=n∑k=0Cknf(k)(x)g(n−k)(x).
▴ Докажем ММИ по n.
При n=1 верно по правилам дифференцирования.
Пусть утверждение верно для n=m. Покажем, что оно верно для n=m+1.
(fg)(m+1)(x)=((fg)(n))′(x)=(m∑k=0Ckmf(k)(x)g(m−k)(x))′=
=m∑k=0Ckmf(k+1)(x)g(m−k)(x)+m∑k=0Ckmf(k)(x)g(m+1−k)(x)=
=m+1∑k=1Ck−1mf(k)(x)g(m−(k−1))(x)+m∑k=0Ckmf(k)(x)g(m+1−k)(x)=
=C0mf(0)(x)g(m+1)(x)+m∑k=1(Ck−1m+Ckm)f(k)g(m+1−k)+Cmmf(m+1)(x)g(0)(x)=
=C0m+1f(0)(x)g(m+1)(x)+m∑k=1Ckm+1f(k)(x)g(m+1−k)(x)+Cm+1m+1f(m+1)(x)g(0)(x)=
=∑m+1k=0Ckm+1f(k)(x)g(m+1−k)(x). ◼
Пример: Найти (x2e5x)(n).
(x2e5x)(n)=C0nx2(e5x)(n)+C1n(x2)′(e5x)(n−1)+C2n(x2)″
= x^2 5^ n e^{5x} + n 2x 5^{n-1} e^{5x} + \frac{n(n-1)}{2} 2 5^{n-2} e^{5x} = 5^{n-2} e^{5x} (25 x^2 + 10nx + n(n-1)) (предполагалось n > 2, справедливость формулы при n=0,1,2 проверяется непосредственно).
Определение 6.11. Если первый дифференциал df(x) = f'(x)dx функции f дифференцируем в точке x_0 (как функция от x) при постоянном dx (т.е. f' дифференцируема в точке x_0), то выражение, являющееся дифференциалом от df с новым приращением \delta x = dx, называется вторым дифференциалом функции f в точке x_0 и обозначается d^2f(x_0).
Из определения вытекает: d^2f(x_0) = d(df(x))|_{x=x_0} = d(f'(x)dx)|_{x=x_0} = (f''(x)\delta x)dx |_{x=x_0, \delta x = dx} = f''(x_0) dx dx = f''(x_0) dx^2.
Определение 6.12. Если (n-1)-й дифференциал d^{n-1} f(x) = f^{(n-1)}(x)dx^{n-1} функции f дифференцируем (как функция от x) в точке x_0 при постоянном dx, то выражение, являющееся дифференциалом от d^{n-1}f с новым приращением \delta x = dx, называется n-м дифференциалом функции f точке x_0 и обозначается d^ n f(x_0). Убеждаемся, что d^ n f(x_0) = f^{(n)}dx^ n.