Processing math: 63%
Now you are in the subtree of Lecture Notes public knowledge tree. 

6.5. Производные и дифференциалы высших порядков

Производные высших порядков определяются индукцией по порядку.

Определение 6.8. Положим f0:=f, f(1):=f.

Если (n1)-я производная f(n1) функции f определена в некоторой δ-окрестности точки x0 и существует (f(n1))(x0), то эту производную называют n-й производной функции в точке x0. Обозначают: f(n)(x0),dnfdxn(x0).

Примеры: (aα)(n)=aαlnna.

(xα)(n)=α(α1)(αn+1)xαn.

(sinx)(n)=sin(x+π2n).

(cosx)(n)=cos(x+π2n).

(lnx)(n)=(1x)(n1)=(1)n(n1)!xn.

Определение 6.9. Функцию, имеющую в точке x (на множестве E) конечные производные до порядка n включительно называет n раз дифференцируемой в точке x (на множестве E).

Определение 6.10. Функцию, имеющую в точке x (на множестве E) конечные производные всех порядков называют бесконечно дифференцируемой в точке x (на множестве E).

Замечание. Из правил дифференцирования следует, что если функции f и g имеют в точке x конечные n-ые производные f(n)(x) и g(n)(x), то функции cf (cR), f±g так же имеют в точке x конечные n-ые производные и справедливы формулы:

(cf)(n)(x)=c(f(n))(x).

(f±g)(n)(x)=f(n)(x)±g(n)(x).

Теорема 6.9 (формула Лейбница). Если f(n)(x)R и g(n)(x)R, то (fg)(n)(x)R,

(fg)(n)=nk=0Cknf(k)(x)g(nk)(x).

 Докажем ММИ по n.

При n=1 верно по правилам дифференцирования.

Пусть утверждение верно для n=m. Покажем, что оно верно для n=m+1.

(fg)(m+1)(x)=((fg)(n))(x)=(mk=0Ckmf(k)(x)g(mk)(x))=

=mk=0Ckmf(k+1)(x)g(mk)(x)+mk=0Ckmf(k)(x)g(m+1k)(x)=

=m+1k=1Ck1mf(k)(x)g(m(k1))(x)+mk=0Ckmf(k)(x)g(m+1k)(x)=

=C0mf(0)(x)g(m+1)(x)+mk=1(Ck1m+Ckm)f(k)g(m+1k)+Cmmf(m+1)(x)g(0)(x)=

=C0m+1f(0)(x)g(m+1)(x)+mk=1Ckm+1f(k)(x)g(m+1k)(x)+Cm+1m+1f(m+1)(x)g(0)(x)=

=m+1k=0Ckm+1f(k)(x)g(m+1k)(x).

Пример: Найти (x2e5x)(n).

(x2e5x)(n)=C0nx2(e5x)(n)+C1n(x2)(e5x)(n1)+C2n(x2)

= x^2 5^ n e^{5x} + n 2x 5^{n-1} e^{5x} + \frac{n(n-1)}{2} 2 5^{n-2} e^{5x} = 5^{n-2} e^{5x} (25 x^2 + 10nx + n(n-1)) (предполагалось n > 2, справедливость формулы при n=0,1,2 проверяется непосредственно).

Определение 6.11. Если первый дифференциал df(x) = f'(x)dx функции f дифференцируем в точке x_0 (как функция от x) при постоянном dx (т.е. f' дифференцируема в точке x_0), то выражение, являющееся дифференциалом от df с новым приращением \delta x = dx, называется вторым дифференциалом функции f в точке x_0 и обозначается d^2f(x_0).

Из определения вытекает: d^2f(x_0) = d(df(x))|_{x=x_0} = d(f'(x)dx)|_{x=x_0} = (f''(x)\delta x)dx |_{x=x_0, \delta x = dx} = f''(x_0) dx dx = f''(x_0) dx^2.

Определение 6.12. Если (n-1)-й дифференциал d^{n-1} f(x) = f^{(n-1)}(x)dx^{n-1} функции f дифференцируем (как функция от x) в точке x_0 при постоянном dx, то выражение, являющееся дифференциалом от d^{n-1}f с новым приращением \delta x = dx, называется n-м дифференциалом функции f точке x_0 и обозначается d^ n f(x_0). Убеждаемся, что d^ n f(x_0) = f^{(n)}dx^ n.