6.4. Производные простейших элементарных функций

Теорема 6.8. Во внутренних точках областей определения функций справедливы формулы:

1. $c' = 0$.

2. $(a^ x)' = a^ x \ln a$.

3. $(\log _ a x)' = \frac1{x\ln a}$.

4. $(x^\alpha )' = \alpha x^{\alpha -1}, x > 0$.

5. $(\sin x)' = \cos x$. $(\cos x)' = -\sin x$.

6. $(\mathop {\rm tg}\nolimits x)' = \frac1{\cos ^2 x}$. $(\mathop {\rm ctg}\nolimits x)' = -\frac1{\sin ^2 x}$.

7. $(\arcsin x)' = \frac1{\sqrt {1 - x^2}}$. $(\arccos x)' = -\frac1{\sqrt {1 - x^2}}$.

8. $(\mathop {\rm arctg}\nolimits x)' = \frac1{1 + x^2}$. $(\mathop {\rm arcctg}\nolimits x)' = -\frac1{1 + x^2}$.

9. $(\mathop {\rm sh}\nolimits x)' = \mathop {\rm ch}\nolimits x$. $(\mathop {\rm ch}\nolimits x)' = \mathop {\rm sh}\nolimits x$.

10. $(\mathop {\rm th}\nolimits x)' = \frac1{\mathop {\rm ch}\nolimits ^2 x}$. $(\mathop {\rm cth}\nolimits x)' = -\frac1{\mathop {\rm sh}\nolimits ^2 x}$.

$\blacktriangle$ 2) $(e^ x)'|_{x=x_0} = \lim \limits _{\Delta x\to 0} \frac{e^{x_0 + \Delta x} - e^{x_0}}{\Delta x} = e^{x_0} \lim \limits _{\Delta x\to 0} \frac{e^{\Delta x} - 1}{\Delta x} = e^{x_0}$ (по следствию из 2-го замечательного предела). По теореме о производной сложной функции
$(a^ x)' = (e^{x\ln a})' = e^{x\ln a} (x\ln a)' = a^ x \ln a$.

3) По теореме о производной обратной функции: $(\log _ a x)' = \frac1{(a^ y)'} = \frac1{a^ y \ln a}$, где $x = a^ y$.

4) $(x^\alpha )' = (e^{\alpha \ln x})' = e^{\alpha \ln x} (\alpha \ln x)' = x^\alpha \cdot \frac{\alpha }{x} = \alpha x^{\alpha - 1}, x > 0$. (Формула справедлива для $\alpha \in \mathbb {Z}$ при $x\neq 0$ (если $\alpha \in \mathbb {N}$, то $\forall x\in \mathbb {R}$). Доказывается по индукции).

5) $(\sin x)|_{x=x_0} = \lim \limits _{\Delta x\to 0} \frac{\sin (x_0 + \Delta x) - \sin x_0}{\Delta x} =$ $\lim \limits _{\Delta x\to 0} \frac{2\cos (x_0 + \frac{\Delta x}2)\sin \frac{\Delta x}2}{\Delta x} =$ $\lim \limits _{\Delta x\to 0} \cos (x_0 + \frac{\Delta x}2) \lim \limits _{\Delta x\to 0} \frac{\sin \frac{\Delta x}2}{\frac{\Delta x}2} =$ $\cos x_0$ (по первому замечательному пределу и непрерывности функции $y=\cos x$ в точке $x_0$).

$(\cos x)' = (\sin (\frac\pi 2 - x))' = \cos (\frac\pi 2 - x) (-1) = -\sin x$.

6) $(\mathop {\rm tg}\nolimits x)' = (\frac{\sin x}{\cos x})' = \ldots = \frac1{\cos ^2 x}$ при $x \neq \frac\pi 2+\pi k, k\in \mathbb {Z}$.

Формула для котангенса доказывается аналогично.

7) $(\arcsin x)' = \frac1{(\sin y)'} = \frac1{\cos y}$, где $x = \sin y, y \in (-\frac\pi 2, \frac\pi 2)$.

$\cos y = \pm \sqrt {1 - \sin ^2 y} \Rightarrow \cos y = \sqrt {1 - x^2}$.

Формулы для производных $y=\arccos x, y=\mathop {\rm arctg}\nolimits x$ доказываются аналогично.

9) $(\mathop {\rm sh}\nolimits x)' = \left( \frac{e^ x - e^{-x}}{2} \right) = \frac{e^ x + e^{-x}}{2} = \mathop {\rm ch}\nolimits x$.

$(\mathop {\rm ch}\nolimits x)' = \left( \frac{e^ x + e^{-x}}{2} \right) = \frac{e^ x - e^{-x}}{2} = \mathop {\rm sh}\nolimits x$.

10) Формулы для производных $y=\mathop {\rm th}\nolimits x, y=\mathop {\rm cth}\nolimits x$ доказываются аналогично (6), учитывая $\mathop {\rm ch}\nolimits ^2 x - \mathop {\rm sh}\nolimits ^2 x = 1$. $\blacksquare$