6.6. Инвариантность первого дифференциала

Если функции $y = y(x), z = z(y)$ дифференцируемы в точках $x$ и $y(x)$, то вычисление дифференциала сложной функции $z = z(y(x))$ прямым способом ($dz = z_ x' dx = z_ y' y_ x' dx$) или последовательным способом ($dz = z_ y'dy = z_ y'(y_ x' dx)$) приводят к одному результату. Это(?) свойство и называется инвариантностью первого дифференциала (дифференциал для зависимой переменной имеет такую же форму, как и для независимой).

Дифференциалы высших порядков ($n \geqslant 2$) таким свойством не обладают. Действительно, если $y = y(x)$ и $z = z(y)$ дважды дифференцируемы соответственно в точках $x$ и $y(x)$, то второй дифференциал сложной функции $z = z(y(x))$ равен $d^2z = d(dz) = d(z_ y' dy) = d(z_ y')dy + z_ y' d^2 y =$ $=z_{yy}'' dy^2 + z_ y' d^2 y$. Вычисление дифференциала последовательным способом приводит к неверному ответу: $d^2 z = z_{yy}'' dy^2 = z_{yy}''(y_ x'dx)^2$.