7.2. Следствия из теоремы Лагранжа

Следствие 1. Если $f$ непрерывна на промежутке $I$ и во всех внутренних точках $I$ имеет равную нулю производную, то $f$ постоянна на $I$.

$\blacktriangle$ Пусть $x, x' \in I, x < x'$. Применяя Т7.3 Лагранжа о среднем к сужению $f$ на $[x, x']$, получим $f(x') - f(x) = f'(c)(x' - x)$, где $c\in (x,x')$. По условию $f'(c) = 0 \Rightarrow$ $\forall x, x' \in I\colon f(x) = f(x')$, т.е. $f$ постоянна на $I$. $\blacksquare$

Следствие 2 (о доказательстве неравенств). Если $f:[a, b)\to \mathbb {R}$, $g\colon [a, b)\to \mathbb {R}$ ($a\in \mathbb {R}$, $b\in \mathbb {R}\cup \{ +\infty \}$)

1. непрерывны на $[a, b)$,

2. дифференцируемы на $(a, b)$,

3. $f(a) \leqslant g(a)$,

4. $f'(x) < g'(x)$ на $(a, b)$,

то $f(x) < g(x)$ на $(a, b)$.

$\blacktriangle$ Пусть $x \in (a, b)$. Применяя Т.Лагранжа о среднем к сужению функции $\varphi = g - f$ на $[a, x]$, получим $\varphi (x) = \varphi (a) + \varphi '(c)(x-a)$ для некоторой точки $c \in (a, b)$. По условию $\varphi (a) = g(a) - f(a) \geqslant 0$, $\varphi '(c) = g'(c) - f'(c) > 0$, следовательно $\varphi (x) > 0$. Итак, $\forall x \in (a, b)\colon$

$f(x) < g(x)$. $\blacksquare$

Пример: $\forall x\neq 0\colon e^ x > 1 + x$.

$\blacktriangle$ $f(x) = 1 + x, g(x) = e^ x$ на $[0; +\infty )$.

$(f(0) = g(0), f'(x) = 1 < e^ x = g'(x)$ при $x>0)$. По следствию 2 $f(x) < g(x)$ на $[0; +\infty )$.

Если $x < 0$, то положим $t = -x$. Тогда аналогично устанавливается неравенство

$\forall t > 0\colon e^{-t} > 1 -t$ ($g(t) = e^{-t}, f(t) = 1-t$). $\blacksquare$

Пример: $\ln (1 + x) < x$ при $x > -1, x\neq 0$.

Следствие 3 (о свойстве производной). Если $f(x_0) = f(x_0 + 0)$ (т.е. $f$ непрерывна в точке $x_0$ справа) и $\exists f'(x_0 + 0)$ (предел производной справа), то $\exists f_+'(x_0) = f'(x_0 + 0)$. Аналогично для левой производной.

$\blacktriangle$ Рассмотрим первый случай. По Т.Лагранжа о среднем при достаточно малых $\Delta x$ выполнено $\frac{\Delta f}{\Delta x} = f'(c(\Delta x))$, где $x_0 < c(\Delta x) < x_0 + \Delta x$. Т.к. $c(\Delta x) \to x_0$ при $\Delta x\to +0$ и $c(\Delta x)\neq x_0$, то по Т4.10 о замене переменной получим

$$f_+'(x_0) = \lim \limits _{\Delta x\to +0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim \limits _{c\to x+x_0} f'(c) = f'(x_0 + 0).$$

Второй случай рассматривается аналогично. $\blacksquare$

Задача 1. Пусть $f$ дифференцируема на $(a, b)$. Может ли её производная $f'$ a) иметь разрыв I рода б) иметь разрыв II рода?

Теорема 7.5 (Дарбу). Если функция $f$ дифференцируема на $[a, b]$, то $\forall C\in \mathbb {R}$

($f'(a) < C < f'(b)$ или $f'(a) > C > f'(b)$) $\exists c \in (a, b)\colon f'(c) = C$.

$\blacktriangle$ Рассмотрим случай $f'(a) f'(b) < 0$ и $C = 0$. Если $f'(a) > 0$ и $f'(b) < 0$, то для достаточно малых $\Delta x > 0$ выполнено $\frac{f(a + \Delta x) - f(a)}{\Delta x} > 0$ и, значит, $f(a + \Delta x) > f(a)$, при достаточно малых (по модулю) $\Delta x < 0$ выполнено $\frac{f(b + \Delta x) - f(b)}{\Delta x} < 0$ и, значит, $f(b + \Delta x) > f(b)$.

Пусть $x_ s$ — точка $\max f$ на $[a, b]$, $f(x_ s) = \sup \limits _{[a, b]} f$, тогда $x_ s \in (a, b)$. Положим $c = x_ s$, тогда по Т7.1 Ферма $f'(c) = 0$.

Рассмотрим общий случай. Введем функцию $h(x) = f(x) - Cx$, тогда $h'(x) = f'(x) - C$. По условию $h'(a) h'(b) < 0 \Rightarrow$ $\exists c \in (a, b)\colon h'(c) = f'(c) - C = 0$. $\blacksquare$