7.5. Формула Маклорена

Определение 7.5. Формула Тейлора при $x_0 = 0$ называется формулой Маклорена.

$$f(x) = \sum \limits _{k=0}^ n = \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^ k + o(x^ n), x\to 0.$$

Лемма 7.2. 1) Пусть $f\colon (-a,a)\to \mathbb {R}$ — чётная ($a>0$). Тогда если $f$ дифференцируема в точке $x_0\in (-a,a)$, то $f$ дифференцируема в точке $x=-x_0$ и $f'(-x_0) = -f'(x_0)$. В частности, если $f$ дифференцируема на $(-a, a)$, то $f'$ — нечётная.

2) Пусть $f\colon (-a,a)\to \mathbb {R}$ — нечётная ($a>0$). Тогда если $f$ дифференцируема в точке $x_0\in (-a,a)$, то $f$ дифференцируема в точке $x=-x_0$ и $f'(-x_0) = f'(x_0)$. В частности, если $f$ дифференцируема на $(-a, a)$, то $f'$ — чётная.

$\blacktriangle$ Докажем (1). Пусть $f$ — чётная на $(-a, a)$, т.е. $f(-x_0) = f(x_0)$, тогда по Т4.10 о замене переменной в пределе имеем: $f'(-x_0) = \lim \limits _{\scriptscriptstyle \Delta x\to 0} \frac{ f(-x_0 + \Delta x) - f(-x_0) }{\Delta x} =$ $\lim \limits _{\scriptscriptstyle \Delta x\to 0} \frac{ f(x_0 - \Delta x) - f(x_0) }{\Delta x} \stackrel{t=-\Delta x}{=}\lim \limits _{\scriptscriptstyle t\to 0} \frac{ f(x_0 + t) - f(x_0) }{-t} = -f'(x_0)$.

Пункт 2 доказывается аналогично. $\blacksquare$

Лемма 7.3. 1) Пусть $f$ — чётная и $\exists f^{(2n+1)}(0) \in \mathbb {R}$. Тогда $f(x) = \sum \limits _{k=0}^ n \frac{f^{(2k)}(0)}{(2k)!}x^{2k} + o(x^{2n+1})$, $x\to 0$.

2) Пусть $f$ — нечётная и $\exists f^{(2n+2)}(0) \in \mathbb {R}$. Тогда $f(x) = \sum \limits _{k=0}^ n \frac{f^{(2k+1)}(0)}{(2k+1)!}x^{2k+1} + o(x^{2n+2})$, $x\to 0$.

$\blacktriangle$ Докажем (1). Т.к. $\exists f^{(2n+1)}(0) \in \mathbb {R}$, то на некотором интервале $(-a, a)$ определены $f^{(j)}(x)$, $0 \leqslant j \leqslant 2n$. По лемме 2 $f^{(2k)}(x)$ — чётная, $f^{(2k-1)}(x)$ — нечётная $\Rightarrow$  $f^{(2k-1)}(0) = 0$ ($1\leqslant k\leqslant n$) и $f^{(2n+1)}(0)=0$.

Следовательно, $f(x) = f(0) + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \ldots + \frac{f^{(2n)}(0)}{(2n)!}x^{2n} + o(x^{2n+1}), x\to 0$.

Пункт (2) доказывается аналогично. $\blacksquare$