8.5. Асимптоты графиков функции

Определение 8.4. Прямая $x = a$ называется вертикальной асимптотой графика функции $f$, если хотя бы один из пределов $\lim \limits _{\scriptscriptstyle x\to a-0} f(x)$ или $\lim \limits _{\scriptscriptstyle x\to a+0} f(x)$ равен $\pm \infty $.

Пример. $x = 0$ — вертикальная асимптота графика функции $f(x) = \frac1x$.

Определение 8.5. Прямая $y = kx + b$ называется наклонной асимптотой графика функции $f$ при $x\to \pm \infty $, если $\lim \limits _{\scriptscriptstyle x\to \pm \infty } (f(x) - kx - b) = 0$.

Пример. $y = x + \frac\pi 2$ — наклонная касательная $f(x) = x + \mathop {\rm arctg}\nolimits x$ при $x\to +\infty $.

$y = x - \frac\pi 2$ — наклонная касательная $f(x) = x + \mathop {\rm arctg}\nolimits x$ при $x\to -\infty $.

Лемма 8.3. Для того, чтобы график $f$ имел наклонную асимптоту $y=kx + b$ при $x\to \pm \infty $, необходимо и достаточно, чтобы существовали $\lim \limits _{\scriptscriptstyle x\to +\infty } \frac{f(x)}{x} = k$, $\lim \limits _{\scriptscriptstyle x\to \pm \infty } (f(x) -kx) = b, k, b\in \mathbb {R}$.

$\blacktriangle $ ($\Rightarrow $) Если $y = kx+b$ — наклонная асимптота графика $f$ при $x\to \pm \infty $, то по определению $f(x) - kx - b = o(1)$ при $x\to \pm \infty \Rightarrow $ $\frac{f(x)}{x} = k + o(1)$, $f(x) - kx = b + o(1)$ при $x\to \pm \infty $.

($\Leftarrow $) Пусть $\exists \lim \limits _{\scriptscriptstyle x\to \pm \infty } \frac{f(x)}{x} = k\in \mathbb {R}$, $\lim \limits _{\scriptscriptstyle x\to \pm \infty } (f(x) - kx) = b \in \mathbb {R}$, тогда $\lim \limits _{\scriptscriptstyle x\to \pm \infty } (f(x) -kx -b) = 0$, т.е. $y = kx+b$ — наклонная асимптота при $x\to \pm \infty $. $\blacksquare $