Processing math: 0%
Now you are in the subtree of Lecture Notes public knowledge tree. 

Spektr və rezolvent

\newcommand{\bbC}{\mathbb{C}}

Tutaq ki, A Banax cəbridir və x \in A. Əgər \lambda \in \bbC ədədi üçün x - \lambda e elementinin tərsi varsa, onda \lambda ədədi x elementinin requlyar nöqtəsi adlanır. Bütün requlyar olmayan nöqtələr çoxluğu x elementinin spektri adlanır və \sigma(x) ilə işarə olunur:
\sigma(x) := \{ \lambda \in \bbC \mid x - \lambda e \notin A^{-1} \}.
Requlyar nöqtələr çoxluğunda təyin olunmuş
\bbC \setminus \sigma(x) \ni \lambda \mapsto (x - \lambda e)^{-1} \in A
inikası x elementinin rezolventi adlanır.

Lemma. İxtiyari x \in A üçün \sigma(x) qapalıdır və \sigma(x) \subset \{ \lambda \in \bbC \colon |\lambda| \le \|x\| \}.

İsbatı. A^{-1} çoxluğunun açıq olmasından və \bbC \ni \lambda \mapsto x - \lambda e \in A inikasının kəsilməzliyindən çıxır ki, x elementinin requlyar nöqtələr çoxluğu
\bbC \setminus \sigma(x) = \{ \lambda \in \bbC \mid x - \lambda e \in A^{-1} \}
açıqdır. Bu isə o deməkdir ki, \sigma(x) qapalıdır.

Tutaq ki, |\lambda| > \|x\|. Onda \| \frac{1}{\lambda} x \| < 1 bərabərsizliyindən çıxır ki,
x - \lambda e = -\lambda \left( e - \frac{1}{\lambda} x \right) \in A^{-1},
yəni \lambda \notin \sigma(x).
\square

Teorem. Tutaq ki, A Banax cəbridir və x \in A. İxtiyari f \in A^{\ast} üçün f((x - \lambda e)^{-1}) ədədi funksiyası \bbC \setminus \sigma(x) çoxluğunda analitikdir və
f((x - \lambda e)^{-1}) \to 0, \quad \lambda \to \infty.

İsbatı. Tutaq ki, \lambda_0 \in \bbC \setminus \sigma(x). Onda
\lim_{\lambda \to \lambda_0} \frac{(x - \lambda e)^{-1} - (x - \lambda_0 e)^{-1}}{\lambda - \lambda_0} = \lim_{\lambda \to \lambda_0} (x - \lambda e)^{-1} (x - \lambda_0 e)^{-1} = \left( (x - \lambda_0 e)^{-1} \right)^2
bərabərliyindən çıxır ki, F(\lambda) := f((x - \lambda e)^{-1}) funksiyası \lambda_0 nöqtəsində diferensiallanır:
\begin{multline*} F'(\lambda_0) = \lim_{\lambda \to \lambda_0} \frac{F(\lambda) - F(\lambda_0)}{\lambda - \lambda_0} = \lim_{\lambda \to \lambda_0} f \left( \frac{(x - \lambda e)^{-1} - (x - \lambda_0 e)^{-1}}{\lambda - \lambda_0} \right) = \\ = f \left( \lim_{\lambda \to \lambda_0} \frac{(x - \lambda e)^{-1} - (x - \lambda_0 e)^{-1}}{\lambda - \lambda_0} \right) = f \left( \left( (x - \lambda_0 e)^{-1} \right)^2 \right). \end{multline*}

Bundan əlavə, |\lambda| > \|x\| olduqda
|F(\lambda)| \le \|f\| \|(x - \lambda e)^{-1}\| = \frac{\|f\|}{|\lambda|} \left\| \left( e - \frac{1}{\lambda} x \right)^{-1} \right\| \le \frac{\|f\|}{|\lambda|} \frac{1}{1 - \|x\| / |\lambda|} = \frac{\|f\|}{|\lambda| - \|x\|} \to 0, \quad \lambda \to \infty.
\square

Nəticə. İxtiyari x \in A üçün \sigma(x) \ne \varnothing.

İsbatı. Tutaq ki, \sigma(x) = \varnothing. Onda ixtiyari f \in A^{\ast} üçün F(\lambda) = f((x - \lambda e)^{-1}) ədədi funksiyası tam funksiyadır və
F(\lambda) \to 0, \quad \lambda \to \infty.
Liuvill teoreminə əsasən, F(\lambda) \equiv 0. Han–Banax teoreminə görə bu yalnız (x - \lambda e)^{-1} = 0_A olduqda mümkündür. Bu isə ola bilməz. Ona görə də \sigma(x) \ne \varnothing.
\square