Hilbert fəzalarının həndəsəsi

$\DeclareMathOperator{\linspan}{span}$

Ortoqonal ayrılış

Tutaq ki, $H$ Hilbert fəzasında $M \subset H$ çoxluğu verilmişdir. Bu çoxluğun bütün elementlərinə ortoqonal olan elementlər çoxluğu $M$ çoxluğunun ortoqonal tamamlayıcısı adlanır və $M^{\perp}$ ilə işarə olunur.

Çalışma. İxtiyari $M$ çoxluğu üçün $M^{\perp}$ qapalı xətti altfəzadır.

Lemma. Tutaq ki, $H$ Hilbert fəzasında $M$ qapalı xətti altfəzası verilmişdir. Onda hər bir $z \in H$ elementi üçün $M$ çoxluğunda bu elementə ən yaxın olan yeganə element var.
İsbatı. $z$ elementi ilə $M$ altfəzası arasındakı məsafəni
$$d := \inf_{y \in M} \|y-z\|$$
ilə işarə etsək, elə $\{y_n\} \subset M$ ardıcıllığı tapmaq olar ki,
$$\lim_{n \to \infty} \|y_n-z\| = d$$
olsun. Onda paraleloqram eyniliyinə əsasən
$$\begin{multline*} 0 \le \|y_m-y_n\|^2 = 2\|y_m-z\|^2 + 2\|y_n-z\|^2 - 4\left\|\frac{y_m+y_n}{2}-z\right\|^2 \le \\ \le 2\|y_m-z\|^2 + 2\|y_n-z\|^2 - 4d^2 \to 2d^2 + 2d^2 - 4d^2 = 0, \quad m,n \to \infty \end{multline*}$$
olduğu üçün $\{y_n\}$ ardıcıllığı fundamentaldır. Fəza tam olduğuna görə bu ardıcıllıq müəyyən $x \in H$ elementinə yığılır, $M$ qapalı olduğuna görə $x \in M$ və normanın kəsilməzliyinə əsasən $\|x-z\| = d$.

Yeganəliyi göstərmək üçün fərz edək ki, $\|\widetilde{x}-z\| = d$. Yenidən paraleloqram eyniliyindən istifadə etsək,
$$0 \le \|x-\widetilde{x}\|^2 = 2\|x-z\|^2 + 2\|\widetilde{x}-z\|^2 - 4\left\|\frac{x+\widetilde{x}}{2}-z\right\|^2 \le 2d^2 + 2d^2 - 4d^2 = 0,$$
yəni $\widetilde{x} = x$ olduğunu alarıq.
$\square$

Teorem. Tutaq ki, $H$ Hilbert fəzasında $M$ qapalı xətti altfəzası verilmişdir. Onda hər bir $z \in H$ elementi yeganə üsulla
$$z = x + y, \quad x \in M,\ y \in M^{\perp}$$
şəklində yazıla bilər.
İsbatı. Yuxarıdakı lemmaya əsasən, hər bir $z \in H$ elementi üçün $M$ çoxluğunda bu elementə ən yaxın olan yeganə $x \in M$ elementi var. Göstərək ki, $z-x \in M^{\perp}$. Bunun üçün sıfır elementdən fərqli ixtiyari $u \in M$ elementi götürək və
$$v = x + \alpha u \in M$$
elementinə baxaq, burada
$$\alpha = \frac{\langle z-x, u \rangle}{\|u\|^2}.$$
Onda
$$\begin{multline*} \|z-x\|^2 \le \|z-v\|^2 = \langle z-x-\alpha u, z-x-\alpha u \rangle = \\ = \|z-x\|^2 - \overline{\alpha} \langle z-x, u \rangle - \alpha \langle u, z-x \rangle + |\alpha|^2 \|u\|^2 = \\ = \|z-x\|^2 - |\alpha|^2 \|u\|^2 \le \|z-x\|^2 \end{multline*}$$
bərabərsizliyindən çıxır ki, $\alpha = 0$, yəni $\langle z-x, u \rangle = 0$. Beləliklə, $z-x \in M^{\perp}$ və biz $y := z-x$ qəbul edə bilərik.

Yeganəliyi göstərmək üçün isə fərz edək ki,
$$z = \widetilde{x} + \widetilde{y}, \quad \widetilde{x} \in M,\ \widetilde{y} \in M^{\perp}.$$
Onda
$$M \ni x-\widetilde{x} = \widetilde{y}-y \in M^{\perp}$$
olduğu üçün alırıq ki, $x=\widetilde{x}$ və $y=\widetilde{y}$.
$\square$

Çalışma. İxtiyari $M \subset H$ çoxluğu üçün $\left( M^{\perp} \right)^{\perp} = \overline{\linspan M}$.

Furye sıraları

Tutaq ki, $H$ Hilbert fəzasında $e_1$, $e_2$, $\ldots$ ortonormal sistemi verilmişdir. İxtiyari $x \in H$ elementi üçün
$$c_k := \langle x, e_k \rangle, \quad k = 1, 2, \ldots$$
ədədləri $x$ elementinin $e_1$, $e_2$, $\ldots$ ortonormal sisteminə nəzərən Furye əmsalları,
$$\sum_{k=1}^{\infty} c_k e_k$$
sırası isə Furye sırası adlanır. Hər bir $n$ natural ədədi üçün doğru olan
$$\left\| x - \sum_{k=1}^{n} c_k e_k \right\|^2 = \left\langle x - \sum_{k=1}^{n} c_k e_k, x - \sum_{k=1}^{n} c_k e_k \right\rangle = \|x\|^2 - \sum_{k=1}^{n} |c_k|^2$$
bərabərliyindən çıxır ki, ixtiyari $x$ elementinin Furye əmsalları üçün
$$\sum_{k=1}^{\infty} |c_k|^2 \le \|x\|^2$$
Bessel bərabərsizliyi ödənir. Həmçinin, həmin bərabərlikdən görünür ki, $x$ elementinin Furye sırasının elementin özünə yığılması üçün zəruri və kafi şərt bu element üçün
$$\sum_{k=1}^{\infty} |c_k|^2 = \|x\|^2$$
Parseval bərabərliyinin ödənməsidir.

Teorem. (Riss–Fişer) Tutaq ki, $H$ Hilbert fəzasında $e_1$, $e_2$, $\ldots$ ortonormal sistemi verilmişdir və $\{c_k\}$ ədədi ardıcıllığı
$$\sum_{k=1}^{\infty} |c_k|^2 < \infty$$
şərtini ödəyir. Onda elə $x \in H$ elementi var ki,
$$c_k = \langle x, e_k \rangle, \quad k = 1, 2, \ldots.$$
İsbatı. $x_n := \sum_{k=1}^{n} c_k e_k$ işarə edək. Şərtə əsasən, $m>n$ olduqda
$$\|x_m - x_n\|^2 = \sum_{k=n+1}^{m} |c_k|^2 \to 0, \quad m, n \to \infty$$
olduğu üçün, $\{x_n\}$ ardıcıllığı fundamentaldır. Fəzanın tam olmasından çıxır ki, bu ardıcıllıq müəyyən $x \in H$ elementinə yığılır. Onda
$$\langle x, e_k \rangle = \lim_{n \to \infty} \langle x_n, e_k \rangle = c_k, \quad k = 1, 2, \ldots.$$
$\square$

Teorem. Hilbert fəzasında verilmiş $e_1$, $e_2$, $\ldots$ ortonormal sistemi üçün aşağıdakı şərtlər ekvivalentdir:
(i) bu sistem tamdır, yəni ortonormal bazis əmələ gətirir;
(ii) bu sistemin bütün elementlərinə ortoqonal olan yeganə element sıfır elementdir;
(iii) hər bir $x \in H$ elementinin bu sistemə nəzərən Furye sırası $x$ elementinin özünə yığılır;
(iv) hər bir $x \in H$ elementi üçün Parseval bərabərliyi ödənir.
İsbatı. $(i) \Longrightarrow (ii)$: Fərz edək ki, $y$ elementi $e_1$, $e_2$, $\ldots$ sisteminin bütün elementlərinə ortoqonaldır. Onda $y$ elementi $e_1$, $e_2$, $\ldots$ sisteminin xətti örtüyündəki bütün elementlərə də ortoqonal olar. Ortonormal sistemimiz tam olduğu üçün bu xətti örtüyün elementlərindən ibarət elə $\{y_k\}$ ardıcıllığı var ki, $y_k \to y$. Onda
$$\langle y, y \rangle = \lim_{k \to \infty} \langle y, y_k \rangle = 0,$$
yəni $y = 0_H$.

$(ii) \Longrightarrow (iii)$: Hər hansı $x$ elementinə baxaq. Bu elementin $c_k = \langle x, e_k \rangle$ Furye əmsalları üçün Bessel bərabərsizliyi ödəndiyindən Riss-Fişer teoreminə əsasən elə $y \in H$ elementi var ki,
$$c_k = \langle y, e_k \rangle, \quad k = 1, 2, \ldots.$$
Onda $x-y$ elementi $e_1$, $e_2$, $\ldots$ sisteminin bütün elementlərinə ortoqonal olar və fərziyyəmizə görə $x=y$, yəni $x$ elementinin Furye sırası $x$ elementinin özünə yığılır.

$(iii) \Longrightarrow (i)$: Hər bir $x \in H$ elementi üçün
$$\linspan\{e_k\} \ni \sum_{k=1}^{n} c_k e_k \to x, \quad n \to \infty$$
olduğundan, $e_1$, $e_2$, $\ldots$ ortonormal sistemi tamdır.

$(iii) \Longleftrightarrow (iv)$ olduğunu isə artıq qeyd etmişik.
$\square$