Hilbert fəzasında məhdud xətti funksionallar

Tutaq ki, $H$ Hilbert fəzasında hər hansı $y \in H$ elementi verilmişdir. Onda
$$H \ni x \mapsto \langle x, y \rangle$$
inikası məhdud xətti funksionaldır. Növbəti teorem onu göstərir ki, Hilbert fəzasında hər bir məhdud xətti funksional bu şəkildədir.

Teorem. (Riss) Tutaq ki, $H$ Hilbert fəzasıdır. Bu fəzadakı ixtiyari $f$ məhdud xətti funksionalı üçün elə yeganə $y_f \in H$ elementi var ki,
$$f(x) = \langle x, y_f \rangle, \qquad x \in H$$
və bu zaman $\|f\| = \|y_f\|$.
İsbatı. $f$ funksionalı məhdud və xətti olduğu üçün $N := \ker f$ nüvəsi qapalı xətti altfəzadır. Ortoqonal ayrılış teoreminə əsasən $H$ fəzasının hər bir elementi $N$ və $N^{\perp}$ altfəzalarından olan elementlərin cəmi şəklində yazıla bilər. Əgər $N^{\perp} = \{0_H\}$, yəni $N = H$ olarsa, onda $y_f = 0_H$ qəbul edə bilərik. Əks halda, $N^{\perp}$ xətti altfəzasında hər hansı $y' \ne 0_H$ elementi tapmaq olar. Onda
$$y_f := \frac{\overline{f(y')}}{\|y'\|^2} y'$$
qəbul etsək,
$$f(y_f) = \frac{\overline{f(y')}}{\|y'\|^2} f(y') = \frac{|f(y')|^2}{\|y'\|^2} = \left\| \frac{\overline{f(y')}}{\|y'\|^2} y' \right\|^2 = \|y_f\|^2$$
olar. İxtiyari $x \in H$ elementi üçün
$$x - \frac{f(x)}{f(y_f)}y_f \in N$$
olduğundan
$$\langle x, y_f \rangle = \left\langle \frac{f(x)}{f(y_f)}y_f + \left( x - \frac{f(x)}{f(y_f)}y_f \right), y_f \right\rangle = \frac{f(x)}{f(y_f)}\|y_f\|^2 = f(x).$$
Bundan əlavə,
$$|f(x)| = |\langle x, y_f \rangle| \le \|y_f\| \|x\|$$
bərabərsizliyi və
$$f(y_f) = \|y_f\|^2$$
bərabərliyindən çıxır ki, $\|f\| = \|y_f\|$.

Əgər $\widetilde{y}_f \in H$ elementi üçün də
$$f(x) = \langle x, \widetilde{y}_f \rangle, \qquad x \in H$$
olarsa, onda
$$\langle \widetilde{y}_f - y_f, \widetilde{y}_f - y_f \rangle = \langle \widetilde{y}_f - y_f, \widetilde{y}_f \rangle - \langle \widetilde{y}_f - y_f, y_f \rangle = f(\widetilde{y}_f - y_f) - f(\widetilde{y}_f - y_f) = 0,$$
yəni $\widetilde{y}_f = y_f$ olduğu üçün teoremin şərtlərini ödəyən $y_f$ elementi yeganədir.
$\square$