Hilbert fəzasında qoşma operator

$\newcommand{\frH}{H}$

Tutaq ki, $\frH$ Hilbert fəzasında təyin oblastı hər yerdə sıx olan $T$ xətti operatoru verilmişdir. Onda
$$\mathsf{D}(T^{\ast}) := \{ y \in \frH \mid \exists z \in \frH, \forall x \in \mathsf{D}(T) \colon \langle Tx, y \rangle = \langle x, z \rangle \}$$
çoxluğundan olan hər bir $y \in \mathsf{D}(T^{\ast})$ elementi üçün $T^{\ast}y := z$ işarə edək. Bu cür təyin olunmuş $T^{\ast}$ operatoru $T$ operatorunun qoşması adlanır.

Çalışma. Əgər $T \subset S$, onda $S^{\ast} \subset T^{\ast}$.

Lemma. Tutaq ki, $\overline{\mathsf{D}(T)} = H$. Onda $\mathsf{N}(T^{\ast}) = \mathsf{R}(T)^{\perp}$.
İsbatı. $$y \in \mathsf{N}(T^{\ast}) \iff y \in \mathsf{D}(T^{\ast}),\ T^{\ast}y = 0 \iff \langle Tx, y \rangle = 0,\ \forall x \in \mathsf{D}(T) \iff y \in \mathsf{R}(T)^{\perp}.$$
$\square$

Teorem. Tutaq ki, $\overline{\mathsf{D}(T)} = H$, $\mathsf{N}(T) = \{0\}$ və $\overline{\mathsf{R}(T)} = H$. Onda
$$(T^{\ast})^{-1} = (T^{-1})^{\ast}.$$
İsbatı. Teoremin şərtlərinə əsasən $T^{\ast}$, $T^{-1}$ və $(T^{-1})^{\ast}$ operatorları mövcuddur. Tutaq ki, $y \in \mathsf{D}((T^{-1})^{\ast})$. Hər bir $x \in \mathsf{D}(T)$ üçün doğru olan
$$\langle x, y \rangle = \langle T^{-1}Tx, y \rangle = \langle Tx, (T^{-1})^{\ast}y \rangle$$
bərabərliyindən çıxır ki,
$$(T^{-1})^{\ast}y \in \mathsf{D}(T^{\ast})$$
və
$$T^{\ast}(T^{-1})^{\ast}y = y.$$

Eyni qayda ilə, tutaq ki, $z \in \mathsf{D}(T^{\ast})$. Onda hər bir $x \in \mathsf{D}(T^{-1})$ üçün doğru olan
$$\langle x, z \rangle = \langle TT^{-1}x, z \rangle = \langle T^{-1}x, T^{\ast}z \rangle$$
bərabərliyindən çıxır ki,
$$T^{\ast}z \in \mathsf{D}((T^{-1})^{\ast})$$
və
$$(T^{-1})^{\ast}T^{\ast}z = z.$$

Yuxarıdakı bərabərliklə birlikdə bu o deməkdir ki,
$$(T^{\ast})^{-1} = (T^{-1})^{\ast}.$$
$\square$

$\frH \times \frH$ fəzasında
$$U \colon (x, y) \mapsto (y, -x)$$
operatorunu daxil edək.

Lemma. Tutaq ki, $\overline{\mathsf{D}(T)} = H$. Onda $\Gamma(T^{\ast}) = U(\Gamma(T)^{\perp}) = (U\Gamma(T))^{\perp}$.
İsbatı. $U$ operatorunun tərifindən çıxır ki, $U(\Gamma(T)^{\perp}) = (U\Gamma(T))^{\perp}$. Digər tərəfdən,
$$\begin{multline*} (y,z) \in \Gamma(T^{\ast}) \iff \langle Tx, y \rangle = \langle x, z \rangle,\ \forall x \in \mathsf{D}(T) \iff \\ \iff \langle (-Tx,x), (y,z) \rangle_{\frH \times \frH} = 0,\ \forall x \in \mathsf{D}(T) \iff (y,z) \in (U\Gamma(T))^{\perp}. \end{multline*}$$
$\square$

Teorem. Təyin oblastı hər yerdə sıx olan $T$ operatorunun qapanabilən olması üçün zəruri və kafi şərt $T^{\ast}$ qoşma operatorunun $\mathsf{D}(T^{\ast})$ təyin oblastının hər yerdə sıx olmasıdır. Bu halda $T^{\ast\ast} = \overline{T}$.
İsbatı. Yuxarıdakı lemmaya əsasən
$$(U\Gamma(T^{\ast}))^{\perp} = (U(U\Gamma(T))^{\perp})^{\perp} = (U^2 \Gamma(T)^{\perp})^{\perp} = (\Gamma(T)^{\perp})^{\perp} = \overline{\Gamma(T)}$$
bərabərliyi doğrudur. Ona görə də, $(0, y) \in \overline{\Gamma(T)}$ münasibəti yalnız və yalnız $y \in \mathsf{D}(T^{\ast})^{\perp}$ olduqda ödənir. Başqa sözlə desək, $T$ operatorunun qapanabilən olması üçün zəruri və kafi şərt $T^{\ast}$ qoşma operatorunun təyin oblastının hər yerdə sıx olmasıdır. Bu halda
$$\Gamma(T^{\ast\ast}) = (U\Gamma(T^{\ast}))^{\perp} = \overline{\Gamma(T)} = \Gamma(\overline{T})$$
olduğu üçün $T^{\ast\ast} = \overline{T}$.
$\square$