Normalı fəzada sıralar

$\newcommand{\bbN}{\mathbb{N}}$

Tutaq ki, $L$ normalı fəzasında bu fəzanın elementlərindən ibarət $\sum_{k=1}^{\infty} x_k$ sırası verilmişdir. Bu sıranın $\sum_{k=1}^{n} x_k$ xüsusi cəmlər ardıcıllığı $x \in L$ elementinə yığıldıqda, yəni
$$\lim_{n \to \infty} \left\| x - \sum_{k=1}^{n} x_k \right\| = 0$$
şərti ödəndikdə $\sum_{k=1}^{\infty} x_k$ sırası yığılan sıra, $x$ ədədi isə həmin sıranın cəmi adlanır və
$$\sum_{k=1}^{\infty} x_k = x$$
kimi işarə olunur. Əgər
$$\sum_{k=1}^{\infty} \|x_k\| < \infty$$
olarsa, onda $\sum_{k=1}^{\infty} x_k$ sırası mütləq yığılan sıra adlanır.

Lemma. Normalı fəzanın Banax fəzası olması üçün zəruri və kafi şərt bu fəzada hər bir mütləq yığılan sıranın yığılan olmasıdır.
İsbatı. Tutaq ki, $L$ Banax fəzasında $\sum_{k=1}^{\infty} \|x_k\| < \infty$. Onda ixtiyari $m < n$ üçün
$$\left\| \sum_{k=m}^{n} x_k \right\| \le \sum_{k=m}^{n} \|x_k\| \to 0, \quad m,n \to \infty$$
olduğu üçün $\sum_{k=1}^{n} x_k$ xüsusi cəmlər ardıcıllığı fundamentaldır və fəza tam olduğuna görə yığılır.

İndi isə fərz edək ki, $L$ normalı fəzasında hər bir mütləq yığılan sıra yığılandır. Bu fəzada $y_n$ fundamental ardıcıllığı götürək. Elə $y_{n_k}$ altardıcıllığı seçək ki, hər bir $k \in \bbN$ üçün
$$\|y_{n_{k+1}} - y_{n_k}\| < \frac{1}{2^k}$$
olsun. Onda
$$y_{n_1} + \sum_{k=1}^{\infty} (y_{n_{k+1}} - y_{n_k})$$
sırası mütləq yığılan olar və fərziyyəmizə əsasən elə $y \in L$ elementi var ki, bu sıranın xüsusi cəmlər ardıcıllığı olan
$$y_{n_m} = y_{n_1} + \sum_{k=1}^{m-1} (y_{n_{k+1}} - y_{n_k})$$
ardıcıllığı $y$ elementinə yığılır:
$$\lim_{m \to \infty} y_{n_m} = y.$$
Buradan isə $y_n$ ardıcıllığı fundamental olduğu üçün
$$\lim_{n \to \infty} y_n = y$$
olduğunu alarıq. Beləliklə, $L$ normalı fəzasında hər bir fundamental ardıcıllıq yığılır, yəni $L$ Banax fəzasıdır.
$\square$