Lebeq fəzaları

$\newcommand{\bbN}{\mathbb{N}}$

Hölder və Minkovski bərabərsizlikləri

Tutaq ki, $p > 1$. Əgər $q := \frac{p}{p-1}$ işarə etsək
$$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$$
olar.

Lemma. İxtiyari $u$, $v \ge 0$ ədədləri üçün
$$uv \le \frac{u^p}{p} + \frac{v^q}{q}.$$
İsbatı. Qeyd olunmuş $v \ge 0$ ədədi üçün
$$\frac{u^p}{p} + \frac{v^q}{q} - uv$$
funksiyası ən kiçik qiymətini $u = v^{q-1}$ olduqda alır:
$$\frac{u^p}{p} + \frac{v^q}{q} - uv \ge \frac{v^{(q-1)p}}{p} + \frac{v^q}{q} - v^{q-1}v = 0.$$
$\square$

Teorem. (Hölder bərabərsizliyi) Verilmiş $[a,b]$ parçasında təyin olunmuş ixtiyari ölçülən $f$ və $g$ funksiyaları üçün
$$\int_a^b |f(x)g(x)|dx \le \left( \int_a^b |f(x)|^p dx \right)^{1/p} \left( \int_a^b |g(x)|^q dx \right)^{1/q}.$$
İsbatı. Əgər bərabərsizliyin sağındakı inteqrallardan heç olmazsa biri sıfra və ya sonsuzluğa bərabər olarsa, onda bərabərsizliyin doğruluğu aydındır. Ona görə də fərz edək ki,
$$0 < \int_a^b |f(x)|^p dx < \infty, \qquad 0 < \int_a^b |g(x)|^q dx < \infty.$$
Bu halda hər bir $x \in [a,b]$ ədədi üçün
$$u = \frac{|f(x)|}{\left( \int_a^b |f(x)|^p dx \right)^{1/p}}, \qquad v = \frac{|g(x)|}{\left( \int_a^b |g(x)|^q dx \right)^{1/q}}$$
ədədlərinə yuxarıdakı lemmanı tətbiq edib, alınan
$$\frac{|f(x)g(x)|}{\left( \int_a^b |f(x)|^p dx \right)^{1/p} \left( \int_a^b |g(x)|^q dx \right)^{1/q}} \le \frac{|f(x)|^p}{p \int_a^b |f(x)|^p dx} + \frac{|g(x)|^p}{q \int_a^b |g(x)|^q dx}$$
bərabərsizliyini $[a,b]$ parçasında inteqrallasaq tələb olunan bərabərsizliyi alarıq.
$\square$

Teorem. (Minkovski bərabərsizliyi) Verilmiş $[a,b]$ parçasında təyin olunmuş ixtiyari ölçülən $f$ və $g$ funksiyaları üçün
$$\left( \int_a^b |f(x) + g(x)|^p dx \right)^{1/p} \le \left( \int_a^b |f(x)|^p dx \right)^{1/p} + \left( \int_a^b |g(x)|^p dx \right)^{1/p}.$$
İsbatı. Əgər
$$\int_a^b |f(x) + g(x)|^p dx = 0$$
olarsa, onda bərabərsizlik aydındır. Əks halda, Hölder bərabərsizliyindən istifadə etməklə alınan
$$\begin{multline*} \int_a^b |f(x) + g(x)|^p dx = \int_a^b |f(x) + g(x)| |f(x) + g(x)|^{p-1} dx \le \\ \le \int_a^b |f(x)| |f(x) + g(x)|^{p-1} dx + \int_a^b |g(x)| |f(x) + g(x)|^{p-1} dx \le \\ \le \left( \int_a^b |f(x)|^p dx \right)^{1/p} \left( \int_a^b \left( |f(x) + g(x)|^{p-1} \right)^q dx \right)^{1/q} + \\ + \left( \int_a^b |g(x)|^p dx \right)^{1/p} \left( \int_a^b \left( |f(x) + g(x)|^{p-1} \right)^q dx \right)^{1/q} = \\ = \left( \left( \int_a^b |f(x)|^p dx \right)^{1/p} + \left( \int_a^b |g(x)|^p dx \right)^{1/p} \right) \left( \int_a^b |f(x) + g(x)|^p dx \right)^{1/q} \end{multline*}$$
bərabərsizliyinin hər iki tərəfini
$$\left( \int_a^b |f(x) + g(x)|^p dx \right)^{1/q}$$
ifadəsinə bölsək tələb olunan bərabərsizliyi alarıq.
$\square$

$L_p[a,b]$ fəzaları

Tutaq ki, $p \ge 1$. Sonlu $[a,b]$ parçasında təyin olunmuş və
$$\int_a^b |f(x)|^p dx < \infty$$
şərtini ödəyən bütün ölçülən funksiyalar çoxluğuna baxaq. Bu çoxluğu elə siniflərə ayıraq ki, eyni sinfə daxil olan ixtiyari iki funksiya sanki hər yerdə (s.h.y.) bərabər olsun, müxtəlif siniflərə daxil olan iki funksiya isə s.h.y. bərabər olmasın. Elementləri bu cür siniflərdən ibarət olan çoxluq $L_p[a,b]$ ilə işarə olunur. $L_p[a,b]$ fəzasında $f$ funksiyasını özündə saxlayan siniflə $g$ funksiyasını özündə saxlayan sinfin cəmi olaraq $f+g$ funksiyasını özündə saxlayan sinfi, $f$ funksiyasını özündə saxlayan sinfin $\alpha$ ədədinə hasili olaraq isə $\alpha f$ funksiyasını özündə saxlayan sinfi götürsək, bu qarşıqoyma həmin siniflərdən məhz hansı $f$ və $g$ funksiyalarının seçilməsindən asılı olmayacaq. Ona görə də $L_p[a,b]$ xətti fəzadır. İşarələməni mürəkkəbləşdirməmək üçün $L_p[a,b]$ fəzasının elementlərini bu elementləri təmsil edən funksiyalarla eyniləşdirəcəyik.

Çalışma. Hər bir $f \in L_p[a,b]$ funksiyasına
$$\|f\| := \left( \int_a^b |f(x)|^p dx \right)^{1/p}$$
ədədini qarşı qoyan inikas normanın bütün aksiomlarını ödəyir.

Teorem. $L_p[a,b]$ fəzası Banax fəzasıdır.
İsbatı. Tutaq ki, $\{f_n\}$ ardıcıllığı $L_p[a,b]$ fəzasında fundamentaldır, yəni
$$\left( \int_a^b |f_m(x) - f_n(x)|^p dx \right)^{1/p} \to 0, \qquad m, n \to \infty.$$
Onda Hölder bərabərsizliyinə əsasən
$$\int_a^b |f_m(x) - f_n(x)| dx \le (b-a)^{1/q} \left( \int_a^b |f_m(x) - f_n(x)|^p dx \right)^{1/p} \to 0, \qquad m, n \to \infty$$
olduğuna görə, elə $n_k$ indekslər ardıcıllığı tapmaq olar ki, hər bir $k \in \bbN$ üçün
$$\int_a^b |f_{n_{k+1}}(x) - f_{n_k}(x)| dx < \frac{1}{2^k}$$
olsun. Levi teoreminə görə
$$|f_{n_1}| + |f_{n_2} - f_{n_1}| + |f_{n_3} - f_{n_2}| + \ldots$$
sırası $[a,b]$ parçasında s.h.y. yığılır. Ona görə də
$$f_{n_k} = f_{n_1} + (f_{n_2} - f_{n_1}) + \ldots + (f_{n_k} - f_{n_{k-1}})$$
ardıcıllığı s.h.y. müəyyən $f(x)$ funksiyasına yığılır. Fundamentallığın tərifinə əsasən istənilən $\varepsilon > 0$ ədədi verildikdə, kifayət qədər böyük $k$ və $l$ indeksləri üçün
$$\int_a^b |f_{n_k}(x) - f_{n_l}(x)|^p dx < \varepsilon$$
bərabərsizliyi doğrudur. Fatu teoremindən istifadə edərək $l \to \infty$ olduqda sonuncu bərabərsizlikdə limitə keçsək
$$\int_a^b |f_{n_k}(x) - f(x)|^p dx \le \varepsilon$$
olduğunu alarıq. Bu isə o deməkdir ki, $f \in L_p[a,b]$ və $f_{n_k}$ ardıcıllığı $L_p[a,b]$ fəzasında $f(x)$ funksiyasına yığılır. Nəhayət, $\{f_n\}$ ardıcıllığı fundamental olduğu üçün bu ardıcıllıq da $L_p[a,b]$ fəzasında $f(x)$ funksiyasına yığılır.
$\square$

Çalışma. $L_p[a,b]$ fəzaları arasında yalnız və yalnız $L_2[a,b]$ fəzası Hilbert fəzasıdır.