Qoşma fəzalar

$\newcommand{\bbC}{\mathbb{C}}$
$\newcommand{\bbN}{\mathbb{N}}$

Tutaq ki, $L$ normalı fəzadır. Bu fəzada təyin olunmuş bütün məhdud xətti funksionallardan ibarət olan $\mathcal{B}(L, \bbC)$ normalı fəzası $L$ fəzasının qoşma fəzası adlanır və $L^{\ast}$ ilə işarə olunur. Kompleks ədədlər fəzası tam olduğu üçün hər bir normalı fəzanın qoşma fəzası Banax fəzasıdır.

Nümunə. Bütün mütləq yığılan ədədi ardıcıllıqlardan ibarət $\ell_1$ normalı fəzasında hər bir $x = (x_1, x_2, \ldots)$ elementinin norması
$$\|x\| := \sum_{n=1}^{\infty} |x_n|$$
kimi təyin olunur.

Göstərək ki, $\ell_1^{\ast} = \ell_{\infty}$. Tutaq ki, $f \in \ell_1^{\ast}$, yəni $f$ $\ell_1$ fəzasında təyin olunmuş məhdud xətti funksionaldır. Onda $\alpha_k := f(e_k)$, $k = 1, 2, \ldots$ ədədi ardıcıllığı
$$|\alpha_k| = |f(e_k)| \le \|f\|$$
şərtini ödəyir, burada
\begin{gather*} e_1 = (1, 0, 0, 0, \ldots),\\ e_2 = (0, 1, 0, 0, \ldots),\\ e_3 = (0, 0, 1, 0, \ldots),\\ \vdots \end{gather*}
işarə olunmuşdur. Buna görə də $\{\alpha_k\} \in \ell_{\infty}$. Əksinə, əgər $\{\alpha_k\} \in \ell_{\infty}$ ixtiyari ardıcıllıqdırsa, onda
$$f \colon (x_1, x_2, \ldots) \mapsto \alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2 + \ldots$$
inikası $\ell_1$ fəzasında məhdud xətti funksionaldır. Beləliklə, $\ell_1^{\ast}$ və $\ell_{\infty}$ fəzaları arasında qarşılıqlı birqiymətli uyğunluq mövcuddur və aydındır ki, bu uyğunluq xətti operatordur. Bu fəzaların izomorf olduğunu göstərmək üçün bir-birinə uyğun gələn $f \in \ell_1^{\ast}$ və $\{\alpha_k\}_{k=1}^{\infty} \in \ell_{\infty}$ elementləri üçün $\|f\| = \| \{\alpha_k\} \|_{\ell_{\infty}}$ olduğunu isbat etmək lazımdır. Norması vahidi aşmayan ixtiyari $x = (x_1, x_2, \ldots) \in \ell_1$ elementi üçün
$$|f(x)| = \left| \sum_{k=1}^{\infty} \alpha_k x_k \right| \le \sup_{k \in \bbN} |\alpha_k| = \| \{\alpha_k\} \|_{\ell_{\infty}}$$
olduğu üçün
$$\|f\| \le \| \{\alpha_k\} \|_{\ell_{\infty}}.$$
Digər tərəfdən, supremumun tərifinə əsasən elə $\{k_m\}$ indekslər ardıcıllığı var ki,
$$|f(e_{k_m})| = |\alpha_{k_m}| \to \sup_{k \in \bbN} |\alpha_k|, \qquad m \to \infty.$$
Yuxarıdakı bərabərsizliklə birlikdə bu o deməkdir ki,
$$\|f\| = \| \{\alpha_k\} \|_{\ell_{\infty}}.$$

Çalışma. $c_0^{\ast} = \ell_1$.