Kəsilməz və məhdud operatorlar

$\newcommand{\bbC}{\mathbb{C}}$

Tutaq ki, $L$ və $\widetilde{L}$ normalı fəzalardır və $A \colon L \to \widetilde{L}$ xətti operatoru bütün $L$ fəzasında təyin olunmuşdur. Hər bir normalı fəza həm də metrik fəza olduğu üçün, metrik fəzalar arasında təsir edən inikaslar üçün daxil etdiyimiz kəsilməzlik anlayışını $A$ operatoruna da aid etmək olar. Bu tərifə əsasən, əgər istənilən $\epsilon > 0$ ədədi üçün elə $\delta > 0$ ədədi tapmaq olarsa ki, $\|x - x_0\|_{L} < \delta$ şərtini ödəyən bütün $x \in L$ elementləri üçün $\|Ax - Ax_0\|_{\widetilde{L}} < \epsilon$ bərabərsizliyi ödənsin, onda $A$ xətti operatoru $x_0 \in L$ nöqtəsində kəsilməz operator adlanır.

Əgər elə $C > 0$ ədədi tapmaq olarsa ki, bütün $x \in L$ elementləri üçün $\|Ax\|_{\widetilde{L}} \le C \|x\|_{L}$ şərti ödənsin, onda deyirlər ki, $A \colon L \to \widetilde{L}$ xətti operatoru məhduddur.

Çalışma. Tutaq ki, $A \colon L \to \widetilde{L}$ xətti operatordur. Onda aşağıdakı şərtlər ekvivalentdir:
(i) $A$ operatoru $L$ normalı fəzasının bütün nöqtələrində kəsilməzdir;
(ii) $A$ operatoru $0_L$ nöqtəsində kəsilməzdir;
(iii) $A$ operatoru məhduddur.

Nümunə. $C[a,b]$ normalı fəzasında $\delta_c \colon x(t) \mapsto x(c)$ (burada $c \in [a,b]$) ifadəsi ilə təyin olunmuş xətti funksional məhduddur, çünki
$$\|\delta_c(x)\|_{\bbC} = |x(c)| \le \max_{t \in [a,b]} |x(t)| = \|x\|_{C[a,b]}.$$

Tutaq ki, $A \colon L \to \widetilde{L}$ məhdud xətti operatordur. Onda
$$\|A\| := \sup_{\|x\|_L \le 1} \|Ax\|_{\widetilde{L}}$$
ədədinə $A$ operatorunun norması deyilir.

Çalışma. Hər bir $A \colon L \to \widetilde{L}$ məhdud xətti operatoru üçün
$$\|A\| = \sup_{\|x\|_L = 1} \|Ax\|_{\widetilde{L}} = \sup_{x \ne 0_L} \frac{\|Ax\|_{\widetilde{L}}}{\|x\|_L}.$$

$L$ və $\widetilde{L}$ normalı fəzaları arasında təsir edən $A$ və $B$ xətti operatorlarının cəmini $(A+B)x := Ax + Bx$,
$A$ operatorunun $\alpha \in \bbC$ ədədinə hasilini isə $(\alpha A)x := \alpha (Ax)$ ifadəsi ilə təyin etsək, bu əməllər xətti fəzanın tərifindəki bütün aksiomları ödəyəcək. Bundan əlavə,
$$\|A+B\| = \sup_{\|x\|_L \le 1} \|Ax + Bx\|_{\widetilde{L}} \le \sup_{\|x\|_L \le 1} (\|Ax\|_{\widetilde{L}} + \|Bx\|_{\widetilde{L}}) \le \sup_{\|x\|_L \le 1} \|Ax\|_{\widetilde{L}} + \sup_{\|x\|_L \le 1} \|Bx\|_{\widetilde{L}} = \|A\|+\|B\|$$
və
$$\|\alpha A\| = \sup_{\|x\|_L \le 1} \|\alpha Ax\|_{\widetilde{L}} = |\alpha| \sup_{\|x\|_L \le 1} \|Ax\|_{\widetilde{L}} = |\alpha| \|A\|$$
münasibətlərindən çıxır ki, $L$ normalı fəzasından $\widetilde{L}$ normalı fəzasına təsir edən bütün məhdud xətti operatorlar çoxluğu normalı fəzadır. Bu normalı fəzanı $\mathcal{B}(L, \widetilde{L})$ ilə işarə edəcəyik. Xüsusi halda, $L$ və $\widetilde{L}$ fəzaları üst-üstə düşdükdə $\mathcal{B}(L) := \mathcal{B}(L, L)$ işarələməsindən də istifadə edəcəyik.

Teorem. Əgər $\widetilde{L}$ normalı fəzası tamdırsa, onda $\mathcal{B}(L, \widetilde{L})$ da tam fəzadır.
İsbatı. Fərz edək ki, $\{A_n\}$ ardıcıllığı $\mathcal{B}(L, \widetilde{L})$ fəzasında fundamentaldır:
$$\lim_{n \to \infty} \|A_m - A_n\|_{\mathcal{B}(L, \widetilde{L})} = 0.$$
Göstərək ki, elə $A \in \mathcal{B}(L, \widetilde{L})$ operatoru var ki, $A_n \to A$. Hər bir $x \in L$ elementi üçün $\{A_n x\}$ ardıcıllığı $\widetilde{L}$ fəzasında fundamental olar və fəza tam olduğu üçün müəyyən $z \in \widetilde{L}$ elementinə yığılar. Bu elementi $A$ operatorunun $x$ nöqtəsindəki qiyməti kimi götürək: $Ax := z$. Onda
$$A(\alpha x + \beta y) = \lim_{n \to \infty} A_n(\alpha x + \beta y) = \lim_{n \to \infty} (\alpha A_n x + \beta A_n y) = \alpha \lim_{n \to \infty} A_n x + \beta \lim_{n \to \infty} A_n y = \alpha A x + \beta A y$$
olduğu üçün $A$ xətti operatordur. Hər bir fundamental ardıcıllıq məhdud olduğu üçün, elə $C > 0$ ədədi var ki,
$$\|A_n\| \le C, \quad n = 1, 2, \ldots.$$
Onda
$$\|A_n x\|_{\widetilde{L}} \le \|A_n\| \|x\|_L \le C, \quad \|x\|_L \le 1,\ n = 1, 2, \ldots$$
olduğu üçün
$$\|Ax\|_{\widetilde{L}} = \lim_{n \to \infty} \|A_n x\|_{\widetilde{L}} \le C$$
olar, yəni $A \in \mathcal{B}(L, \widetilde{L})$. İstənilən $\epsilon > 0$ ədədi qeyd edib, fundamentallığın tərifindən istifadə etsək, elə $N_{\epsilon}$ tapa bilərik ki, $\|x\|_L \le 1$ şərtini ödəyən hər bir $x \in L$ elementi və bütün $m$, $n > N_{\epsilon}$ ədədləri üçün $\|A_m x - A_n x\|_{\widetilde{L}} \le \|A_m - A_n\| \|x\|_L < \epsilon / 2$ olsun. Bu bərabərsizlikdə $m \to \infty$ olduqda limitə keçsək $\|A x - A_n x\|_{\widetilde{L}} \le \epsilon / 2$ olduğunu alarıq. Beləliklə,
$$\|A - A_n\| = \sup_{\|x\|_L \le 1} \|A x - A_n x\|_{\widetilde{L}} \le \epsilon / 2 < \epsilon, \qquad n > N_{\epsilon}.$$
Bu isə o deməkdir ki,
$$\lim_{n \to \infty} \|A - A_n\| = 0.$$
$\square$