Han–Banax teoremi
Teorem. Tutaq ki, separabel L həqiqi normalı fəzasının L0 xətti altfəzasında f0 məhdud xətti funksionalı təyin olunmuşdur. Onda bütöv L fəzasında təyin olunmuş elə f məhdud xətti funksionalı var ki, ‖ və hər bir x \in L_0 üçün f(x) = f_0(x).
İsbatı. Əvvəlcə göstərək ki, x_1 \notin L_0 hər hansı elementdirsə, onda f_0 funksionalını tələb olunan qaydada
L_1 = \linspan (L_0 \cup \{x_1\}) = \{tx_1 + y \mid t \in \bbR,\ y \in L_0\}
xətti altfəzasında təyin olunmuş f_1 funksionalına davam etdirmək olar. Funksionalı davam etdirmək üçün yalnız c := f_1(x_1) qiymətini təyin etmək kifayətdir, çünki
f_1(t x_1 + y) = t f_1(x_1) + f_1(y) = tc + f_0(y), \qquad t \in \bbR,\ y \in L_0.
Bu qiyməti elə seçməliyik ki, funksionalın norması artmasın. İxtiyari t' < 0 < t ədədləri və y, y' \in L_0 elementləri üçün doğru olan
\begin{multline*}
f_0 \left( \frac{y}{t} \right) - f_0 \left( \frac{y'}{t'} \right) = f_0 \left( \frac{y}{t} - \frac{y'}{t'} \right) \le \left| f_0 \left( \frac{y}{t} - \frac{y'}{t'} \right) \right| \le \|f_0\| \left\| \frac{y}{t} - \frac{y'}{t'} \right\| = \\
= \|f_0\| \left\| x_1 + \frac{y}{t} - \left( x_1 + \frac{y'}{t'} \right) \right\| \le \|f_0\| \left( \left\| x_1 + \frac{y}{t} \right\| + \left\| x_1 + \frac{y'}{t'} \right\| \right)
\end{multline*}
bərabərsizliyindən çıxır ki,
\frac{\|f_0\| \|t' x_1 + y'\| - f_0(y')}{t'} \le \frac{\|f_0\| \|t x_1 + y\| - f_0(y)}{t}.
Beləliklə,
\sup_{\substack{t' < 0 \\ y' \in L_0}} \frac{\|f_0\| \|t' x_1 + y'\| - f_0(y')}{t'} \le \inf_{\substack{t > 0 \\ y \in L_0}} \frac{\|f_0\| \|t x_1 + y\| - f_0(y)}{t}.
Ona görə də elə c \in \bbR ədədi tapmaq olar ki,
\sup_{\substack{t' < 0 \\ y' \in L_0}} \frac{\|f_0\| \|t' x_1 + y'\| - f_0(y')}{t'} \le c \le \inf_{\substack{t > 0 \\ y \in L_0}} \frac{\|f_0\| \|t x_1 + y\| - f_0(y)}{t}
olsun. Bu cür seçilmiş c ədədi üçün
tc \le \|f_0\| \|t x_1 + y\| - f_0(y), \qquad t \in \bbR,\ y \in L_0
yəni
f_1(t x_1 + y) = tc + f_0(y) \le \|f_0\| \|t x_1 + y\|, \qquad t \in \bbR,\ y \in L_0
olar. Sonuncu bərabərsizliyi
f_1(z) \le \|f_0\| \|z\|, \qquad z \in L_1
şəklində yazıb, ondan alınan
-f_1(z) = f_1(-z) \le \|f_0\| \|z\|, \qquad z \in L_1
bərabərsizliyi ilə birləşdirsək,
|f_1(z)| \le \|f_0\| \|z\|, \qquad z \in L_1
olduğunu alarıq. Bu isə o deməkdir ki, \|f_1\| \le \|f_0\|. Digər tərəfdən
\|f_1\| = \sup_{z \in L_1} |f_1(z)| \ge \sup_{z \in L_0} |f_1(z)| = \sup_{z \in L_0} |f_0(z)| = \|f_0\|
olduğu üçün \|f_1\| = \|f_0\|.
Normalı fəzamız separabel olduğu üçün bu fəzada hər yerdə sıx olan x_1, x_2, x_3, \ldots hesabi çoxluğu var. Bu çoxluğun elementləri vasitəsilə
L_k := \linspan (L_{k-1} \cup \{x_k\}), \quad k = 1, 2, 3, \ldots
xətti altfəzalar ardıcıllığını quraq. Onda hər bir k \in \bbN ədədi üçün x_k \in L_{k-1} olduqda L_k = L_{k-1} olduğu üçün L_{k-1} altfəzasında təyin olunmuş funksional həm də L_k altfəzasında təyin olunmuş olur, x_k \notin L_{k-1} olduqda isə L_{k-1} altfəzasında təyin olunmuş funksionalı normasını saxlamaqla yuxarıdakı qayda ilə L_k altfəzasına davam etdirmək olar. Ona görə də L_0 xətti altfəzasında təyin olunmuş f_0 funksionalını ardıcıl olaraq əvvəlcə L_1 xətti altfəzasına, sonra L_2 xətti altfəzasına və s. davam etdirsək, nəticədə f_0 funksionalı L fəzasında hər yerdə sıx olan
\linspan (L_0 \cup \bigcup_{k=1}^{\infty} \{x_k\})
xətti altfəzasına davam olunmuş olacaq. Alınmış funksionalı isə kəsilməzliyə görə bütöv L fəzasına davam etdirməklə axtardığımız f funksionalını almış olarıq.
\square
Teorem. Tutaq ki, separabel L kompleks normalı fəzasının L_0 xətti altfəzasında f_0 məhdud xətti funksionalı təyin olunmuşdur. Onda bütöv L fəzasında təyin olunmuş elə f məhdud xətti funksionalı var ki, \|f\| = \|f_0\| və hər bir x \in L_0 üçün f(x) = f_0(x).
İsbatı. Verilmiş L və L_0 kompleks xətti fəzalarına həm də həqiqi xətti fəzalar kimi baxmaq olar. Bu zaman onları uyğun olaraq \Lambda və \Lambda_0 ilə işarə edək. Onda
\varphi_0(x) := \re f_0(x)
ifadəsi \Lambda_0 həqiqi xətti fəzasında məhdud xətti funksional təyin edir və \|\varphi_0\| = \|f_0\|. Yuxarıdakı teoremə əsasən \Lambda fəzasında təyin olunmuş elə \varphi həqiqi xətti funksionalı var ki, \|\varphi\| = \|\varphi_0\| və \varphi(x) = \varphi_0(x), x \in \Lambda_0. Bu funksional vasitəsilə qurulmuş
f(x) := \varphi(x) - i \varphi(ix)
ifadəsi L fəzasında kompleks xətti funksional təyin edir, çünki
\begin{multline*}
f((\alpha + i \beta)x) = \varphi(\alpha x + i \beta x) - i \varphi(-\beta x + i \alpha x) = \\
= \alpha \varphi(x) + \beta \varphi(ix) + i \beta \varphi(x) - i \alpha \varphi(ix) = \\
= (\alpha + i \beta)(\varphi(x) - i \varphi(ix)) = (\alpha + i \beta)f(x), \qquad \forall \alpha, \beta \in \bbR.
\end{multline*}
Aydındır ki,
f(x) = f_0(x), \qquad x \in L_0.
Nəhayət, ixtiyari x \in L üçün funksionalın bu nöqtədəki qiymətini f(x) = re^{i\theta} şəklində yazıb \varphi(x) = \re f(x) bərabərliyini nəzərə alsaq
|f(x)| = e^{-i\theta} f(x) = f(e^{-i\theta} x) = \varphi(e^{-i\theta} x) \le \|\varphi_0\| \|x\| = \|f_0\| \|x\|
olduğu üçün \|f\| = \|f_0\|.
\square
Nəticə. Tutaq ki, L normalı fəzadır. İxtiyari x_0 \ne 0_L elementi üçün bütöv L fəzasında təyin olunmuş elə f məhdud xətti funksionalı var ki, \|f\| = 1 və f(x_0) = \|x_0\|.
İsbatı. Əvvəlcə L_0 := \{ \alpha x_0 \mid \alpha \in \bbC \} xətti altfəzasında f_0(\alpha x_0) := \alpha \|x_0\| xətti funksionalını təyin edək. Aydındır ki, \|f_0\| = 1. Han–Banax teoreminə görə L fəzasında təyin olunmuş elə f xətti funksionalı var ki, \|f\| = \|f_0\| = 1 və f(x_0) = f_0(x_0) = \|x_0\|.
\square