Simmetrik operatorlar

$\newcommand{\frH}{H}$

Təyin oblastı $\frH$ Hilbert fəzasında hər yerdə sıx olan və $T \subset T^{\ast}$, yəni
$$\langle Tx, y \rangle = \langle x, Ty \rangle, \quad x, y \in \mathsf{D}(T)$$
şərtini ödəyən $T$ xətti operatoru simmetrik operator adlanır.

Hər bir qoşma operator qapalı olduğu üçün hər bir simmetrik operator qapanabilən operatordur.

Teorem. (Hellinqer–Töplits) Bütün $\frH$ fəzasında təyin olunmuş simmetrik operator məhduddur.
İsbatı. Əksini fərz edək. Tutaq ki, bütün $\frH$ fəzasında təyin olunmuş $T$ simmetrik operatoru qeyri-məhduddur. Onda elə $y_n \in \frH$ ardıcıllığı tapmaq olar ki,
$$\|y_n\| = 1, \quad \|Ty_n\| \to \infty.$$
$\frH$ fəzasında
$$f_n(x) := \langle Tx, y_n \rangle = \langle x, Ty_n \rangle, \quad n = 1, 2, \ldots$$
xətti məhdud funksionallar ardıcıllığına baxaq. Hər bir qeyd olunmuş $x \in \frH$ elementi üçün $f_n(x)$ ardıcıllığı məhduddur. Onda Banax–Şteynhaus teoreminə görə $\|f_n\|$ ardıcıllığı, yəni $\|Ty_n\|$ ardıcıllığı da məhdud olmalıdır. Ziddiyyət aldıq.
$\square$

Teorem. Simmetrik operatorun məxsusi ədədləri həqiqidir, müxtəlif məxsusi ədədlərə uyğun məxsusi vektorları isə bir-birinə ortoqonaldır.
İsbatı. Tutaq ki,
$$Tx = \lambda x, \quad x \ne 0.$$
Onda
$$\lambda \langle x, x \rangle = \langle Tx, x \rangle = \langle x, Tx \rangle = \overline{\lambda} \langle x, x \rangle$$
bərabərliyindən $\lambda = \overline{\lambda}$, yəni $\lambda$ ədədinin həqiqi olması alınır.

İndi isə $\lambda_1 \ne \lambda_2$ həqiqi ədədləri üçün
$$Tx_1 = \lambda_1 x_1, \quad Tx_2 = \lambda_2 x_2$$
olsun. Onda
$$\lambda_1 \langle x_1, x_2 \rangle = \langle Tx_1, x_2 \rangle = \langle x_1, Tx_2 \rangle = \lambda_2 \langle x_1, x_2 \rangle$$
bərabərliyində $\lambda_1 \ne \lambda_2$ olduğu üçün
$$\langle x_1, x_2 \rangle = 0.$$
$\square$