Processing math: 2%
Now you are in the subtree of Математический анализ project. 

4.3. Свойства предела функции

Определение 4.10. Функция f:ER имеет предел в точке a, если b¯R:b=lim.

Теорема 4.2 (о пределе по подмножеству). Если \lim \limits _{E \ni x \to a} f(x) = b, D \subset E, a — предельная точка D, то \lim \limits _{D \ni x \to a} (f|_ D)(x) = b.

\blacktriangle  Возьмем любую последовательность точек x_ n \in D \backslash \{ a\} , x_ n\to a, тогда
f|_ D(x_ n) = f(x_ n) \to b \Rightarrow \lim \limits _{D\ni x\to a}(f|_ D)(x) = b. \blacksquare

Теорема 4.3 (о единственности предела). Если \lim \limits _{E \ni x \to a} f(x) существует, то он единственный.

\blacktriangle  Возьмем любую последовательность точек x_ n \in D \backslash \{ a\} , x_ n\to a, тогда f(x_ n) \to \lim \limits _{E \ni x \to a}f(x). В силу единственности предела последовательности \lim \limits _{E \ni x \to a} f(x) единственный. \blacksquare

Пример: Докажем, что \nexists \lim \limits _{x\to 0} \sin \frac1x.

\blacktriangle  
\left.\begin{array}{l} x_ n' = \frac1{\pi n} \to 0, f(x_ n') = \sin \pi n = 0 \\x_ n'' = \frac1{\frac\pi 2 + 2\pi n} \to 0, f(x_ n'') = \sin (\frac\pi 2 + 2\pi n) = 1 \end{array}\right\} \Rightarrow \nexists \lim \limits _{x\to 0} \sin \frac1x. \blacksquare

Теорема 4.4 (об отделимости). Если \lim \limits _{E \ni x \to a} f(x) = b \not= c, то \exists \varepsilon > 0\ \exists \delta > 0\colon
f(B_\delta '(a) \cap E) \cap B_\varepsilon (c) = \varnothing .

\blacktriangle  По Лемме 3.1 \exists \varepsilon > 0\colon B_\varepsilon (b) \cap B_\varepsilon (c) = \varnothing . Т.к. b = \lim \limits _{E \ni x \to a} f(x) \Rightarrow \exists \delta >0\ \forall x \in B_\delta '(a) \cap E\colon

f(x) \in B_\varepsilon (b) \Rightarrow f(B_\delta '(a) \cap E) \subset B_\varepsilon (b) \Rightarrow f(B_\delta '(a) \cap E) \cap B_\varepsilon (c) = \varnothing . \blacksquare

Теорема 4.5 (об ограниченности). Если \lim \limits _{E \ni x \to a} f(x) \in \mathbb {R}, то \exists \delta > 0\colon f(B_\delta '(a) \cap E) — ограниченное множество.

\blacktriangle  Пусть b = \lim \limits _{E \ni x \to a} f(x), тогда \exists \delta >0\ \forall x \in B_\delta '(a) \cap E\colon f(x) \in B_1(b) \Rightarrow

f(B_\delta '(a) \cap E) \subset (b-1, b+1) \Rightarrow f(B_\delta '(a) \cap E) — ограниченное. \blacksquare

Теорема 4.6 (о зажатой функции). Пусть f, g, h\colon E\to \mathbb {R}. Тогда если
\exists \Delta > 0\ \forall x \in B_\Delta '(a) \cap E\colon
f(x) \leqslant h(x) \leqslant g(x), \lim \limits _{E\ni x\to a} f(x) = \lim \limits _{E\ni x\to a} g(x) = b, то \exists \lim \limits _{E\ni x\to a} h(x) = b.

\blacktriangle  Возьмём любую последовательность точек x_ n \in E \backslash \{ a\} , x_ n \to a, тогда
\exists n_0\ \forall n \geqslant n_0\colon x_ n \in B_\Delta '(a)\cap E \Rightarrow \forall n \geqslant n_0\colon f(x_ n) \leqslant h(x_ n) \leqslant g(x_ n). По теореме о зажатой последовательности h(x_ n)\to b. По определению предела по Гейне \lim \limits _{E\ni x\to a} h(x) = b. \blacksquare

Задача 1. Доказать, что если \exists \Delta > 0\ \forall x \in B_\Delta '(a)\cap E\colon f(x) \geqslant g(x), \lim \limits _{E\ni x\to a} f(x) = b,
\lim \limits _{E\ni x\to a} g(x) = c, то b \geqslant c.

Определение 4.11. Функция f\colon E \to \mathbb {R} называется бесконечно малой при E \ni x\to a, если \lim \limits _{E\ni x\to a} f(x) = 0. Пишут f(x) = o(1) при E\ni x \to a.

Определение 4.12. Функция f\colon E \to \mathbb {R} называется ограниченной при E \ni x\to a, если \exists \delta >0\colon f(B_\delta '(a) \cap E) — ограниченное множество. Пишут f(x) = O(1) при E\ni x \to a.

Лемма 4.1. \lim \limits _{E\ni x\to a} f(x) = b \in \mathbb {R}\Leftrightarrow f(x) = b + o(1) при E \ni x\to a.

\blacktriangle  Возьмём любую последовательность точек x_ n \in E \backslash \{ a\} , x_ n \to a, тогда утверждение
f(x_ n) \to b эквивалентно f(x_ n) - b = o(1). Следовательно, по определению Гейне \lim \limits _{E\ni x\to a} f(x) = b \Leftrightarrow
f(x) - b = o(1) при E\ni x \to a. \blacksquare

Задача 2. Доказать, что если \alpha \colon E\to \mathbb {R} — бесконечно малая при x\to a, \gamma \colon E\to \mathbb {R} — ограничена при E\ni x \to a, то \alpha \gamma \colon E\to \mathbb {R} — бесконечно малая при E\ni x \to a.

Теорема 4.7 (о пределе суммы, произведения, частного).

Если \lim \limits _{E\ni x\to a} f(x) = b, \lim \limits _{E\ni x\to a} g(x) = c, то:

\lim \limits _{E\ni x\to a} (f(x) \pm g(x)) = b\pm c,
\lim \limits _{E\ni x\to a} f(x) g(x) = b c,

c\neq 0, тогда \lim \limits _{E'\ni x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{b}c (под E' подразумевается область определения \frac{f}{g}).

\blacktriangle  Возьмём любую последовательность точек x_ n \in E \backslash \{ a\} , x_ n \to a, тогда

f(x_ n)\pm g(x_ n) \to b\pm c,f(x_ n)g(x_ n) \to bc,\frac{f(x_ n)}{g(x_ n)} \to \frac{b}c.

По определению предела по Гейне \lim \limits _{E\ni x\to a} (f(x) \pm g(x)) = b\pm c, \lim \limits _{E\ni x\to a} f(x) g(x) = b c, \lim \limits _{E'\ni x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{b}c. \blacksquare