4.8. Непрерывность функции
Определение 4.20 (по Коши). Функция f:E→R непрерывна в точке a∈E, если
∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈Bδ(a)∩E:f(x)∈Bε(f(a)).
Замечание. Если точка a не является предельной точкой множества E, то условие непрерывности в этой точке всегда выполняется. Действительно, ∃δ>0 Bδ(a)∩E={a}⇒
f(Bδ(a)∩E)={f(a)}⊂Bε(f(a)).
Если точка a предельная точка E, то утверждение, что f непрерывна в точке a, эквивалентно утверждению lim.
Определение 4.21 (по Гейне). Функция f\colon E\to \mathbb {R} непрерывна в точке a\in E, если
\forall \{ x_ n\} , x_ n \in E\ (\lim \limits _{n\to \infty }x_ n = a \Rightarrow \lim \limits _{n\to \infty }f(x_ n) = f(a)).
Теорема 4.11. Определения непрерывности функции по Коши и по Гейне эквивалентны.
\blacktriangle (\Rightarrow ) Покажем, что если выполняется определение непрерывности по Коши, то выполняется и определение по Гейне.
Пусть f\colon E\to \mathbb {R} и \forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall x\in B_\delta (a) \cap E\colon f(x) \in B_\varepsilon (f(a))\ (*)
Пусть x_ n\in E\ x_ n\to a, тогда \exists N\ \forall n>N\colon x_ n\in B_\delta (a)\cap E \stackrel{(*)}{\Rightarrow } \forall n > N\colon f(x_ n) \in B_\varepsilon (f(a)).
Получим \forall \varepsilon >0\ \exists N\ \forall n > N\colon f(x_ n) \in B_\varepsilon (f(a)), т.е. f(x_ n) \to f(a). Определение по Гейне выполняется.
(\Leftarrow ) Покажем, что если выполняется определение по Гейне, то выполняется и определение по Коши.
Если точка a\in E не является предельной точкой, то оба определения выполняются.
Если a\in E — предельная точка, то по определению предела функции по Гейне \lim \limits _{E\ni x\to a} f(x) = f(a), а значит, f непрерывна в точке a в смысле определения Коши. \blacksquare
Определение 4.22. Пусть f\colon E\to \mathbb {R}, a — предельная точка E. Функция f разрывна (имеет разрыв) в точке a, если функция f не является непрерывной в этой точке. При этом говорят, что точка a является точкой разрыва функции f.
Пример: Пусть D\colon \mathbb {R}\to \mathbb {R}, где D(x) = \begin{cases} 1, x\in \mathbb {Q}\\0, x\in \mathbb {R}\backslash \mathbb {Q}\end{cases} — функция Дирихле. Покажем, что функция Дирихле разрывна в каждой точке. Пусть a\in \mathbb {R}. Тогда
\left. \begin{array}{l} \lim \limits _{x\to a} (D|_\mathbb {Q})(x) = 1,\\\lim \limits _{x\to a} (D|_{\mathbb {R}\backslash \mathbb {Q}})(x) = 0 \end{array}\right\} \Rightarrow \nexists \lim \limits _{x\to a} D(x) \Rightarrow f разрывна в точке a.