Processing math: 10%
Now you are in the subtree of Математический анализ project. 

4.10. Классификация точек разрыва

Определение 4.23. Пусть функция f:ER определена в BΔ(a) (aR), т.е. BΔ(a)E.

  1. Точка a называется точкой устранимого разрыва функции f, если lim, а значение f(a) или не существует, или не равно этому пределу.

  2. Точка a называется точкой разрыва I рода функции f, если существуют f(a-0) \in \mathbb {R}, f(a+0)\in \mathbb {R}, но f(a-0) \not= f(a+0).

  3. Точка a называется точкой разрыва II рода функции f, если хотя бы один из односторонних пределов f(a-0) и f(a+0) не существует или бесконечен.

Примеры:

  1. Пусть f\colon \mathbb {R}\to \mathbb {R},\quad f(x) =\mathop {\mathrm{sign}} x = \begin{cases} 1, x > 0,\\0, x = 0,\\-1, x < 0. \end{cases}

    Тогда f(+0) = 1 и f(-0) = -1. Следовательно, x=0 — точка разрыва I рода.

  2. Пусть g\colon \mathbb {R}\to \mathbb {R}, g(x) = \mathop {\mathrm{sign}}\nolimits^2 x, тогда x = 0 — точка устранимого разрыва.

  3. Пусть h\colon \mathbb {R}\backslash \{ 0\} \to \mathbb {R},\quad h(x) = \frac1x, тогда x=0 — точка разрыва II рода.

  4. Функция Дирихле D\colon \mathbb {R}\to \mathbb {R} имеет разрыв II рода в каждой точке.

Теорема 4.14 (о разрывах монотонной функции). Если f\colon (a, b)\to \mathbb {R} монотонна на (a, b), (a, b\in \overline{\mathbb {R}}), то f имеет разрывы только I рода, причём их не более чем счётное множество.

\blacktriangle  По следствию 1 из Т4.9 о пределах монотонной функции

\forall x \in (a, b)\ \exists f(x+0), f(x-0) \in \mathbb {R}, причём f(x-0) \leqslant f(x) \leqslant f(x+0) или f(x-0) \geqslant f(x) \geqslant f(x+0). Если f(x+0) = f(x-0), то f(x-0) = f(x) = f(x+0) и, следовательно, f — непрерывна в точке x. Поэтому в точке разрыва f(x-0) \not= f(x+0), так что x — точка разрыва I рода.

В силу монотонности функции f на (a, b) интервалы с концами f(x-0) и f(x+0) для различных точек разрыва не пересекаются.

Поставим в соответствие каждому такому интервалу рациональное число, содержащееся в нём. Этим установим биекцию между множеством таких интервалов и подмножеством \mathbb {Q}. Любое подмножество \mathbb {Q}  не более чем счётно \Rightarrow   множество точек разрыва f не более чем счётное множество. \blacksquare