5.3. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции

Считая известными определения тригонометрических функций и их простейшие свойства, остановимся на вопросе их непрерывности.

Лемма 5.2. $\forall x \neq 0\colon |\sin x| < |x|$.

$\blacktriangle $ 

1. $0 < x < \frac\pi 2\colon \sin x = BH < BA < \stackrel{\smile }{BA} = x$.

2. $x \geqslant \frac\pi 2\colon |\sin x| \leqslant 1 < \frac\pi 2 \leqslant x$.

3. $x < 0$ — в силу чётности функции. $\blacksquare $

Теорема 5.5. Функции $\sin x, \cos x, \mathop {\rm tg}\nolimits x, \mathop {\rm ctg}\nolimits x$ непрерывны на своих областях определения.

$\blacktriangle $ 

1. Покажем, что $y = \sin x$ непрерывна в произвольной точке $x_0 \in \mathbb {R}$. Поскольку

   $|\sin x - \sin x_0| = |2 \cos \frac{x+x_0}2 \sin \frac{x-x_0}2| \leqslant 2 |\frac{x-x_0}2| = |x - x_0|$, то

   $\forall \varepsilon >0\ \exists \delta =\varepsilon \ \forall x\ (|x - x_0| < \delta \Rightarrow |\sin x - \sin x_0| < \varepsilon)$, т.е. $y = \sin x$ непрерывна в точке $x_0$.

2. Непрерывность $y = \cos x$ следует из тождества $\cos x = \sin (\frac\pi 2 - x)$ и теоремы о непрерывности сложной функции.

3. функции $\mathop {\rm tg}\nolimits x = \frac{\sin x}{\cos x}$ и $\mathop {\rm ctg}\nolimits x = \frac{\cos x}{\sin x}$ непрерывны во всех точках, в которых знаменатели отличны от нуля (как частные непрерывных функций). $\blacksquare $

Рассмотрим функции:

1. $f_1\colon [-\frac\pi 2; \frac\pi 2] \to [-1; 1], f_1(x) = \sin x \Rightarrow \arcsin y = f_1^{-1}(y)\colon [-1; 1] \to [-\frac\pi 2; \frac\pi 2]$.

2. $f_2\colon [0; \pi ] \to [-1; 1], f_2(x) = \cos x \Rightarrow \arccos y = f_2^{-1}(y)\colon [-1; 1] \to [0; \pi ]$.

3. $f_3\colon (-\frac\pi 2; \frac\pi 2) \to \mathbb {R}, f_3(x) = \mathop {\rm tg}\nolimits x \Rightarrow \mathop {\rm arctg}\nolimits y = f_3^{-1}(y)\colon \mathbb {R}\to (-\frac\pi 2; \frac\pi 2)$.

4. $f_4\colon (0; \pi ) \to \mathbb {R}, f_4(x) = \mathop {\rm ctg}\nolimits x \Rightarrow \mathop {\rm arcctg}\nolimits y = f_4^{-1}(y)\colon \mathbb {R}\to (0; \pi )$.

Теорема 5.6. Функции $\arcsin x$, $\arccos x$, $\mathop {\rm arctg}\nolimits x$ и $\mathop {\rm arcctg}\nolimits x$ непрерывны на своих областях определения.

$\blacktriangle $ Вытекает из теоремы об обратной функции. $\blacksquare $