6.2. Геометрический смысл производной и дифференциала

Пусть функция $f\colon \mathbb {R}\to \mathbb {R}$ непрерывна в некоторой $\delta$-окрестности $x_0$, т.е. $B_\delta (x_0)\subset E$.

Через точки $M_0 (x_0, f(x_0))$ и $M_ h (x_0+h, f(x_0 + h))\ (0 < |h| < \delta )$ можно провести единственную прямую $M_0 M_ h$, которая называется секущей графика функции $f$. Её уравнение:

$M_0 M_ h\colon y = k(h)(x-x_0) + f(x_0)$, где $k(h) = \frac{f(x+x_0) - f(x_0)}{h}$.

figure 6.1

Устремим $h\to 0$. "Предельное положение" $M_0M$ секущей $M_0M_ h$ называют касательной. Дадим точное определение.

Определение 6.6. Прямая $M_0 M\colon y = k(x-x_0) + f(x_0)$ называется наклонной касательной к графику $f$ точке $(x_0, f(x_0))$, если

$$f(x) - (k(x-x_0) + f(x_0)) = o(x-x_0), x\to x_0.$$

Теорема 6.3. Наклонная касательная к графику функции $f$ в точке $(x_0, f(x_0))$ существует $\Leftrightarrow$ $\exists f'(x_0) \in \mathbb {R}$, при этом $k = f'(x_0)$.

$\blacktriangle$ Вытекает из определений. $\blacksquare$

figure 6.2

Вывод: Если $\exists f'(x_0) \in \mathbb {R}$, то приращение $\Delta f = f(x) - f(x_0)$ складывается из двух частей:

$d f(x_0)$ — приращения ординаты касательной, и бесконечно малой по сравнению с $\Delta x$, при $\Delta x\to 0$, которая учитывает приращение от касательной до $f(x)$.

Замечание. Уравнение наклонной касательной $y = f'(x_0)(x-x_0) + f(x_0)$ получается из уравнения $M_0M_ h$ предельным переходом при $h\to 0$. Т.к. уравнение секущей $M_0 M_ h$ при $f(x) \neq f(x_0)$ можно переписать $M_0 M_ h\colon x-x_0 = \frac{y - f(x_0)}{k(h)}$, это мотивирует следующее определение:

Определение 6.7. Если $\exists f'(x_0) = \pm \infty$, то $M_0 M_ h\colon x-x_0 = 0$ называется вертикальной касательной к графике $f$ в точке $x_0$.

Замечание. Пусть $f\colon \mathbb {R}\to \mathbb {R}, f(x) = \mathop {\mathrm{sign}} x + \sqrt [3]{x} = \begin{cases} 1 + \sqrt [3]{x}, x > 0,\\0, x = 0,\\-1 + \sqrt [3]{x}, x < 0. \end{cases}$

Тогда $\exists f'(0) = +\infty , x=0$ — вертикальная касательная, но $f$ разрывна в точке $x_0$.