Processing math: 97%
Now you are in the subtree of Lecture Notes public knowledge tree. 

4.1 Функция. Определение и терминология

Напомним некоторые определения

Определение 4.1. Функцией f:XY называют отношение fX×Y, такое что xX !yY:xfy.

При этом X — множество (область) определения функции f.

Yf={yY xX:xfy} — множество (область) значений f.

Вместо xfy пишут f(x)=y.

Замечание. Наряду с записью f(x) будем использовать f(x)|x=x0 или f(x)|x0

Определение 4.2. Графиком функции f:XY называют {(x,f(x)):xX}X×Y.

Определение 4.3. Пусть f:XY,AX,BY, тогда по определению:

f(A)={f(x):xA} — образ множества A.

f1(B)={xX:f(x)B} — прообраз множества B.

По определению f1(y0)=f1({y0}) — прообраз элемента y0Y.

Замечание. Из определения образа f(X)=Yf.

Определение 4.4. Композицией f:XY и g:YZ называют функцию gf:XZ, xX:(gf)(x)=g(f(x))

Определение 4.5. Пусть f:XY,AX, тогда функцию f|A:AY,

xA:(f|A)(x)=f(x) называют сужением функции f на A.

Всюду в дальнейшем под функцией будет подразумеваться отображение из ER в R, то есть действительнозначная функция действительного аргумента.

Определение 4.6. Функция f:ER называется ограниченной сверху (ограниченной снизу, ограниченной), если множество её значений f(E) ограничено сверху (ограничено снизу, ограничено). Введём обозначения: sup.