4.1 Функция. Определение и терминология
Напомним некоторые определения
Определение 4.1. Функцией f:X→Y называют отношение f⊂X×Y, такое что ∀x∈X ∃!y∈Y:xfy.
При этом X — множество (область) определения функции f.
Yf={y∈Y ∃x∈X:xfy} — множество (область) значений f.
Вместо xfy пишут f(x)=y.
Замечание. Наряду с записью f(x) будем использовать f(x)|x=x0 или f(x)|x0
Определение 4.2. Графиком функции f:X→Y называют {(x,f(x)):x∈X}⊂X×Y.
Определение 4.3. Пусть f:X→Y,A⊂X,B⊂Y, тогда по определению:
f(A)={f(x):x∈A} — образ множества A.
f−1(B)={x∈X:f(x)∈B} — прообраз множества B.
По определению f−1(y0)=f−1({y0}) — прообраз элемента y0∈Y.
Замечание. Из определения образа f(X)=Yf.
Определение 4.4. Композицией f:X→Y и g:Y→Z называют функцию g∘f:X→Z, ∀x∈X:(g∘f)(x)=g(f(x))
Определение 4.5. Пусть f:X→Y,A⊂X, тогда функцию f|A:A→Y,
∀x∈A:(f|A)(x)=f(x) называют сужением функции f на A.
Всюду в дальнейшем под функцией будет подразумеваться отображение из E⊂R в R, то есть действительнозначная функция действительного аргумента.
Определение 4.6. Функция f:E→R называется ограниченной сверху (ограниченной снизу, ограниченной), если множество её значений f(E) ограничено сверху (ограничено снизу, ограничено). Введём обозначения: sup.