4.6. Монотонные функции

Определение 4.17. Функция $f\colon E\to \mathbb {R}$ называется нестрого возрастающей (нестрого убывающей) на $X \subset E$, если $\forall x, x' \in X\ (x < x' \Rightarrow f(x) \leqslant f(x'))$ (соотв. $f(x) \geqslant f(x')$).

Определение 4.18. Функция $f\colon E\to \mathbb {R}$ называется строго возрастающей (строго убывающей) на $X \subset E$, если $\forall x, x' \in X\ (x < x' \Rightarrow f(x) < f(x'))$ (соотв. $f(x) > f(x')$).

Определение 4.19. Функция $f\colon E\to \mathbb {R}$ называется монотонной на $X \subset E$, если $f$ нестрого возрастает или нестрого убывает на $X$.

Теорема 4.9 (о пределах монотонной функции). Пусть $f\colon (a, b)\to \mathbb {R}$ монотонна на $(a, b)$. Тогда:

1. Существует $f(b - 0)$, равный $\sup \limits _{(a, b)} f$, если $f$ нестрого возрастает на $(a, b)$, и равный $\inf \limits _{(a, b)} f$, если $f$ нестрого убывает на $(a, b)$.

2. Существует $f(a + 0)$, равный $\inf \limits _{(a, b)} f$, если $f$ нестрого возрастает на $(a, b)$, и равный $\sup \limits _{(a, b)} f$, если $f$ нестрого убывает на $(a, b)$.

$\blacktriangle$ Пусть $f$ нестрого возрастает на $(a, b), s = \sup \limits _{(a, b)} f$. Покажем, что $\exists f(b-0) = s$.

1. $s \in \mathbb {R}\Rightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0, b-\delta \in (a, b)\colon f(b - \delta ) > s - \varepsilon$. В силу нестрогого возрастания $f$ на $(a, b)$ имеем: $\forall x \in (b-\delta , b)\colon s \geqslant f(x) \geqslant f(b-\delta ) > s-\varepsilon$, т.е. $f(x) \in B_\varepsilon (s) \Rightarrow f(b-0) = s$.

2. $s = +\infty \Rightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0, b-\delta \in (a, b)\colon f(b-\delta ) > \frac1\varepsilon$. В силу нестрогого возрастания $f$ на $(a, b)$ имеем: $\forall x \in (b-\delta , b)\colon f(x) \geqslant f(x-\delta ) > \frac1\varepsilon$, т.е. $f(x) \in B_\varepsilon (+\infty ) \Rightarrow f(b-0) = +\infty$.

Остальные случаи аналогичны. $\blacksquare$

Следствие 1. Пусть $f$ монотонна в $B_\Delta (a)\ (a \in \mathbb {R})$, тогда существует конечные $f(a-0)$ и $f(a+0)$. Если $f$ нестрого возрастает в $B_\Delta (a)$ то $f(a-0) \leqslant f(a) \leqslant f(a+0)$. Если $f$ нестрого убывает в $B_\Delta (a)$ то $f(a-0) \geqslant f(a) \geqslant f(a+0)$.

$\blacktriangle$ Если $f$ нестрого возрастает в $B_\Delta (a)$, то по предыдущей теореме:

$f(a-0) = \sup \limits _{(a-\Delta , a)} f \leqslant f(a) \leqslant \inf \limits _{(a, a+\Delta )} f = f(a+0)$. Случай нестрого убывания аналогичен. $\blacksquare$

Следствие 2. Пусть $f$ монотонна на $I \subset \mathbb {R}$, где $I$ — отрезок, полуинтервал, интервал (возможно с одним или с двумя бесконечными концами).

Если $x \in I, x \not= \sup I, f(x) \not= f(x+0)$, то интервал с концами $f(x)$ и $f(x+0)$ не пересекается с $f(I)$, но с обеих сторон содержит точки из $f(I)$.

Если $x \in I, x \not= \inf I, f(x) \not= f(x-0)$, то интервал с концами $f(x-0)$ и $f(x)$ не пересекается с $f(I)$, но с обеих сторон содержит точки из $f(I)$.

$\blacktriangle$ Пусть $f$ нестрого возрастает на $I, x \in I, x \not= \sup I$.

Тогда $\forall t \in I, t \leqslant x\colon f(t) \leqslant f(x);\quad \forall t \in I, t > x\colon f(t) \geqslant \inf \limits _{(x, \sup I)} f = f(x+0)$.

Следовательно, если $f(x) \not= f(x+0)$, то интервал $(f(x), f(x+0)) \cap f(I) = \varnothing$, хотя с обеих сторон имеет точки из $f(I)$.

Случай, когда $f$ нестрого убывает на $I$ рассматривается аналогично. $\blacksquare$