4.8. Непрерывность функции

Определение 4.20 (по Коши). Функция $f\colon E\to \mathbb {R}$ непрерывна в точке $a\in E$, если

$$\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall x \in B_\delta (a)\cap E\colon f(x)\in B_\varepsilon (f(a)).$$

Замечание. Если точка $a$ не является предельной точкой множества $E$, то условие непрерывности в этой точке всегда выполняется. Действительно, $\exists \delta >0\ B_\delta (a)\cap E = \{ a\} \Rightarrow$
$f(B_\delta (a) \cap E) = \{ f(a)\} \subset B_\varepsilon (f(a))$.

Если точка $a$ предельная точка $E$, то утверждение, что $f$ непрерывна в точке $a$, эквивалентно утверждению $\lim \limits _{E\ni x\to a} f(x) = f(a)$.

Определение 4.21 (по Гейне). Функция $f\colon E\to \mathbb {R}$ непрерывна в точке $a\in E$, если

$$\forall \{ x_ n\} , x_ n \in E\ (\lim \limits _{n\to \infty }x_ n = a \Rightarrow \lim \limits _{n\to \infty }f(x_ n) = f(a)).$$

Теорема 4.11. Определения непрерывности функции по Коши и по Гейне эквивалентны.

$\blacktriangle$ $(\Rightarrow )$ Покажем, что если выполняется определение непрерывности по Коши, то выполняется и определение по Гейне.

Пусть $f\colon E\to \mathbb {R}$ и $\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall x\in B_\delta (a) \cap E\colon f(x) \in B_\varepsilon (f(a))\ (*)$

Пусть $x_ n\in E\ x_ n\to a$, тогда $\exists N\ \forall n>N\colon x_ n\in B_\delta (a)\cap E \stackrel{(*)}{\Rightarrow } \forall n > N\colon f(x_ n) \in B_\varepsilon (f(a))$.

Получим $\forall \varepsilon >0\ \exists N\ \forall n > N\colon f(x_ n) \in B_\varepsilon (f(a))$, т.е. $f(x_ n) \to f(a)$. Определение по Гейне выполняется.

$(\Leftarrow )$ Покажем, что если выполняется определение по Гейне, то выполняется и определение по Коши.

Если точка $a\in E$ не является предельной точкой, то оба определения выполняются.

Если $a\in E$ — предельная точка, то по определению предела функции по Гейне $\lim \limits _{E\ni x\to a} f(x) = f(a)$, а значит, $f$ непрерывна в точке $a$ в смысле определения Коши. $\blacksquare$

Определение 4.22. Пусть $f\colon E\to \mathbb {R}, a$ — предельная точка $E$. Функция $f$ разрывна (имеет разрыв) в точке $a$, если функция $f$ не является непрерывной в этой точке. При этом говорят, что точка $a$ является точкой разрыва функции $f$.

Пример: Пусть $D\colon \mathbb {R}\to \mathbb {R}$, где $D(x) = \begin{cases} 1, x\in \mathbb {Q}\\0, x\in \mathbb {R}\backslash \mathbb {Q}\end{cases}$ — функция Дирихле. Покажем, что функция Дирихле разрывна в каждой точке. Пусть $a\in \mathbb {R}$. Тогда

$\left. \begin{array}{l} \lim \limits _{x\to a} (D|_\mathbb {Q})(x) = 1,\\\lim \limits _{x\to a} (D|_{\mathbb {R}\backslash \mathbb {Q}})(x) = 0 \end{array}\right\} \Rightarrow \nexists \lim \limits _{x\to a} D(x) \Rightarrow f$ разрывна в точке $a$.