4.12. Промежутки. Теорема об обратной функции

Определение 4.25. Промежутком называется любое множество $J \subset \mathbb {R}$, содержащее с какой-то парой точек и все точки, лежащие между ними (т.е. $\forall a, b \in J, a < x< b \Rightarrow x\in J$)

Лемма 4.3. Промежутками являются следующие множества: $\mathbb {R}$, лучи $(a, +\infty )$, $[a, +\infty ]$, $(-\infty , b)$, $(-\infty , b]$, отрезки $[a, b]$, интервалы $(a, b)$, полуинтервалы $(a, b], [a, b)\ (a, b\in \mathbb {R})$, $\varnothing$. Любой промежуток — одно из указанных множеств.

$\blacktriangle$ Очевидно, все приведённые множества — промежутки. Покажем, что ими исчерпываются все промежутки.

Пусть $J$ — промежуток, $J \neq \varnothing$. Обозначим $a = \inf J \in \overline{\mathbb {R}}, b = \sup J \in \overline{\mathbb {R}}$. Если $a < x < b$, то $x \neq \sup J, x \neq \inf J \Rightarrow \exists x', x'' \in J\colon x' < x < x'' \Rightarrow x \in J$. Откуда $(a, b) \subset J \subset [a, b]$ (в $\overline{\mathbb {R}}$), т.е. $J$ является либо отрезком, либо интервалом, либо полуинтервалом, быть может с одним или двумя бесконечными концами, не входящими в $J$. $\blacksquare$

Определение 4.26. Если $f\colon X\to Y$ — биекция, то функция $f^{-1}\colon Y\to X$, определенная правилом $f^{-1}(y) = x \Leftrightarrow f(x) = y$, называется обратной функцией к $f$.

Замечание. По определению, $f(f^{-1}(y)) = y$ для всех $y \in Y$ и $f^{-1}(f(x)) = x$ для всех $x \in X$.

Лемма 4.4. Пусть $f\colon E\to \mathbb {R}$, $E \subset \mathbb {R}$, $D = f(E)$. Если $f$ строго монотонна на $E$, то существует $f^{-1}\colon D\to \mathbb {R}$. Причём $f^{-1}$ строго возрастает на $D$, если $f$ строго возрастает на $E$ и $f^{-1}$ строго убывает на $D$, если $f$ строго убывает на $E$.

$\blacktriangle$ По условию $f\colon E\to D$ — сюръекция. Если $x_1, x_2 \in E, x_1 \not= x_2$, то в силу строгой монотонности $f$ имеем $f(x_1) \not= f(x_2)$, так что $f$ — инъекция. Следовательно, $f$ — биекция и $\exists f^{-1}\colon D\to \mathbb {R}$. Пусть $f$ строго возрастает на $E$. Покажем, что $f^{-1}$ строго возрастает на $D$. Пусть $y_1, y_2 \in D\colon y_1 < y_2$. Обозначим $x_ i = f^{-1}(y_ i) (i=1, 2)$. Равенство $x_1 = x_2$ не может выполняться, т.к. $f(x_1) = y_1 \not= y_2 = f(x_2)$. Неравенство $x_2 < x_1$ не может выполняться, т.к. $(x_2 < x_1 \stackrel{f~ \mbox{строго возр.}}{\Rightarrow }$ $y_2 = f(x_2) < f(x_1) = y_1)$. Поэтому $x_1 < x_2$. Итак, $\forall y_1, y_2 \in D\ (y_1 < y_2 \Rightarrow f^{-1}(y_1) < f^{-1}(y_2))$, т.е. $f^{-1}$ строго возрастает.

Случай строгого убывания рассматривается аналогично. $\blacksquare$

Теорема 4.19 (об обратной функции). Если $f$ — строго монотонна и непрерывна на промежутке $I$, то $f(I)$ является промежутком и на $f(I)$ существует обратная функция $f^{-1}$, которая также строго монотонна и непрерывна.

$\blacktriangle$ Пусть $f$ строго возрастает на $I$. Если $f$ принимает в точках $a$ и $b$ значения $f(a)$ и $f(b)$, то по теореме Больцано-Коши функция $f$ принимает все промежуточные (между $f(a)$ и $f(b)$) значения. Значит, $J = f(I)$ — промежуток. По Л4.4 обратная функция $f^{-1}\colon J\to I$ определена и строго возрастает на $J$.

Покажем, что функция $f^{-1}$ непрерывна на $J$. По Т4.9 о пределах монотонной функции конечные односторонние пределы существуют для каждой внутренней точки $J$ (в случае концевой точки $J$, принадлежащей $J$, существует один конечный односторонний предел).

Предположим, $f^{-1}$ не является непрерывной в некоторой точке $y_0 \in J$. Поскольку

$f^{-1}(y_0-0) \leqslant f^{-1}(y_0) \leqslant f^{-1}(y_0+0)$, то либо $f^{-1}(y_0-0) \neq f^{-1}(y_0)$, либо $f^{-1}(y_0) \neq f^{-1}(y_0+0)$. Пусть для определённости $f^{-1}(y_0) \neq f^{-1}(y_0+0)$. По следствию 2 Т4.9 о пределах монотонной функции интервал $(f^{-1}(y_0-0), f^{-1}(y))$ не пересекается с $I$ и лежит между точками из $I$. Это противоречит тому, что $I$ — промежуток. Следовательно, $f^{-1}$ непрерывна на $J$. $\blacksquare$

Пример. Пусть $f\colon \mathbb {R}\to \mathbb {R}$, где $f(x) = x^ n$, степенная функция с показателем $n \in \mathbb {N}$. Эта функция непрерывна на $\mathbb {R}$.

$f$ строго возрастает на $[0, +\infty )$. Тогда по Т4.19 для сужения $f$ на $[0, +\infty )$ существует $f^{-1}\colon [0, +\infty ] \to \mathbb {R}$, $\sqrt [n]{y} = f^{-1}(y)$. Функция $f^{-1}$ непрерывна на $[0, +\infty )$.

Замечание. Если $a \geqslant 0$, то положим $a^{\frac1n} := \sqrt [n]{a}$.