4.2 Предел функции в точке. Два определения и их эквивалентность

Определение 4.7 (предел функции по Коши). Точка $b \in \overline{\mathbb {R}}$ называется пределом функции $f\colon E \to \mathbb {R}$ в точке $a \in \overline{\mathbb {R}}$, если $a$ — предельная точка множества $E$ и

$$\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta > 0\ \forall x \in B_\delta '(a) \cap E\colon f(x) \in B_\varepsilon (b).$$

Пишут: $\lim \limits _{E \ni x \to a} = b$ или $f(x)\to b$ при $E \ni x \to a$.

В частности, если $a, b\in \mathbb {R}$, то определение 4.7 можно переписать следующим образом:

Определение 4.8. Число $b \in \mathbb {R}$ называется пределом функции $f\colon E \to \mathbb {R}$ в точке $a \in \mathbb {R}$, если $a$ — предельная точка $E$ и

$$\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta > 0\ \forall x \in E\colon (0 < |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - b| < \varepsilon ).$$

Замечание. (Геометрический смысл). Пусть $f\colon E \to \mathbb {R}$, $a$ — предельная точка $E$. Тогда $b = \lim \limits _{E \ni x \to a} \Leftrightarrow $ $\forall B_\varepsilon (b)\ \exists B_\delta '(a)\colon f(B_\delta '(a) \cap E) \subset B_\varepsilon (b)$.

Определение 4.9 (предел функции по Гейне). Точка $b \in \overline{\mathbb {R}}$ называется пределом функции $f\colon E \to \mathbb {R}$ в точке $a \in \overline{\mathbb {R}}$, если $a$ — предельная точка множества $E$ и

$$\forall \{ x_ n\} , x_ n \in E \backslash \{ a\} \ (\lim \limits _{n\to \infty }x_ n = a \Rightarrow \lim \limits _{n\to \infty }f(x_ n) = b).$$

Теорема 4.1. Определения предела функции по Коши и по Гейне эквивалентны.

$\blacktriangle $ ($\Rightarrow $) Докажем, что если $\lim \limits _{E \ni x \to a} f(x) = b$ по Коши, то $\lim \limits _{E \ni x \to a} = b$ по Гейне.

Итак, пусть $f\colon E \to \mathbb {R}, a$ — предельная точка $E$ и $\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta > 0\ \forall x \in B_\delta '(a) \cap E \colon f(x) \in B_\varepsilon (b)\ (*)$.

Пусть $\{ x_ n\} , x_ n \in E \backslash \{ a\} , x_ n \to a$. Покажем, что $f(x_ n) \to b$. Т.к. $x_ n \to a$, то

$\exists N\ \forall n > N\colon x_ n \in B_\delta (a)$. Т.к. $x_ n \in E \backslash \{ a\} $, то $\forall n > N\colon x_ n \in B_\delta '(a) \cap E \stackrel{\mbox{по ($*$)}}{\Rightarrow }$ $ f(x_ n) \in B_\varepsilon (b)$.

Получаем: $\forall \varepsilon > 0\ \exists N\ \forall n > N\colon f(x_ n) \in B_\varepsilon (b)$, т.е. $\lim \limits _{n\to \infty }f(x_ n) = b$. Определение по Гейне выполняется.

($\Leftarrow $) Пусть определение по Коши не выполняется. В начале обоих определений формируются некоторые одинаковые требования, естественно, что не выполнение их в одном определении означает их невыполнение во втором определении. Поэтому пусть $f\colon E \to \mathbb {R}$ и $a$ — предельная точка множества $E$, но определение по Коши не выполняется, т.е.

$$\exists \varepsilon > 0\ \forall \delta > 0\ \exists x \in B_\delta '(a) \cap E\colon f(x) \not\in B_\varepsilon (b).$$

Возьмем последовательность чисел $\delta _ n = \frac1n$ и построим соответствующую последовательность точек $x_ n \in B_{\delta _ n}'(a) \cap E\colon f(x_ n) \not\in B_\varepsilon (b)$. Итак, $x_ n \in E \backslash \{ a\} $ и $x_ n \to a\ (\mbox{т.к. }\delta _ n \to 0)$, но

$f(x_ n) \not\in B_\varepsilon (b) \Rightarrow b \not= \lim \limits _{n\to \infty }f(x_ n)$. Определение по Гейне не выполняется. $\blacksquare $

Замечание. Т.к. определения по Коши и по Гейне эквивалентны, то в дальнейшем будем говорить просто, что функция $f\colon E \to \mathbb {R}$ имеет предел в точке $a$, равный $b$. Если $a$ — внутренняя точка множества $E \cup \{ a\} $, то пишут $\lim \limits _{x\to a} f(x) = b$ (опуская указание на множество $E$).

Пример: Пусть $a, b \in \mathbb {R}$. Расписать на языке $\varepsilon $-$\delta $:

$\lim \limits _{x\to +\infty } f(x) = b \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall x\ (x > \frac1\delta \Rightarrow |f(x) - b| < \varepsilon )$.

$\lim \limits _{x \to a} f(x) = -\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0\ \exists \delta > 0\ \forall x\ (0 < |x - a| < \delta \Rightarrow f(x) < -\frac1\varepsilon )$.

Пример: Доказать, что $\lim \limits _{x\to +\infty } \frac{\sin x}{x} = 0$.

$\blacktriangle $ $\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta = \varepsilon \ \forall x\ (x > \frac1\delta \Rightarrow \left|\frac{\sin x}x\right| \leqslant \frac1x < \varepsilon ) \Leftrightarrow \lim \limits _{x\to +\infty } \frac{\sin x}x = 0.$ $\blacksquare $