4.2 Предел функции в точке. Два определения и их эквивалентность
Определение 4.7 (предел функции по Коши). Точка b∈¯R называется пределом функции f:E→R в точке a∈¯R, если a — предельная точка множества E и
∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈B′δ(a)∩E:f(x)∈Bε(b).
Пишут: lim или f(x)\to b при E \ni x \to a.
В частности, если a, b\in \mathbb {R}, то определение 4.7 можно переписать следующим образом:
Определение 4.8. Число b \in \mathbb {R} называется пределом функции f\colon E \to \mathbb {R} в точке a \in \mathbb {R}, если a — предельная точка E и
\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta > 0\ \forall x \in E\colon (0 < |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - b| < \varepsilon ).
Замечание. (Геометрический смысл). Пусть f\colon E \to \mathbb {R}, a — предельная точка E. Тогда b = \lim \limits _{E \ni x \to a} \Leftrightarrow \forall B_\varepsilon (b)\ \exists B_\delta '(a)\colon f(B_\delta '(a) \cap E) \subset B_\varepsilon (b).
Определение 4.9 (предел функции по Гейне). Точка b \in \overline{\mathbb {R}} называется пределом функции f\colon E \to \mathbb {R} в точке a \in \overline{\mathbb {R}}, если a — предельная точка множества E и
\forall \{ x_ n\} , x_ n \in E \backslash \{ a\} \ (\lim \limits _{n\to \infty }x_ n = a \Rightarrow \lim \limits _{n\to \infty }f(x_ n) = b).
Теорема 4.1. Определения предела функции по Коши и по Гейне эквивалентны.
\blacktriangle (\Rightarrow ) Докажем, что если \lim \limits _{E \ni x \to a} f(x) = b по Коши, то \lim \limits _{E \ni x \to a} = b по Гейне.
Итак, пусть f\colon E \to \mathbb {R}, a — предельная точка E и \forall \varepsilon > 0\ \exists \delta > 0\ \forall x \in B_\delta '(a) \cap E \colon f(x) \in B_\varepsilon (b)\ (*).
Пусть \{ x_ n\} , x_ n \in E \backslash \{ a\} , x_ n \to a. Покажем, что f(x_ n) \to b. Т.к. x_ n \to a, то
\exists N\ \forall n > N\colon x_ n \in B_\delta (a). Т.к. x_ n \in E \backslash \{ a\} , то \forall n > N\colon x_ n \in B_\delta '(a) \cap E \stackrel{\mbox{по ($*$)}}{\Rightarrow } f(x_ n) \in B_\varepsilon (b).
Получаем: \forall \varepsilon > 0\ \exists N\ \forall n > N\colon f(x_ n) \in B_\varepsilon (b), т.е. \lim \limits _{n\to \infty }f(x_ n) = b. Определение по Гейне выполняется.
(\Leftarrow ) Пусть определение по Коши не выполняется. В начале обоих определений формируются некоторые одинаковые требования, естественно, что не выполнение их в одном определении означает их невыполнение во втором определении. Поэтому пусть f\colon E \to \mathbb {R} и a — предельная точка множества E, но определение по Коши не выполняется, т.е.
\exists \varepsilon > 0\ \forall \delta > 0\ \exists x \in B_\delta '(a) \cap E\colon f(x) \not\in B_\varepsilon (b).
Возьмем последовательность чисел \delta _ n = \frac1n и построим соответствующую последовательность точек x_ n \in B_{\delta _ n}'(a) \cap E\colon f(x_ n) \not\in B_\varepsilon (b). Итак, x_ n \in E \backslash \{ a\} и x_ n \to a\ (\mbox{т.к. }\delta _ n \to 0), но
f(x_ n) \not\in B_\varepsilon (b) \Rightarrow b \not= \lim \limits _{n\to \infty }f(x_ n). Определение по Гейне не выполняется. \blacksquare
Замечание. Т.к. определения по Коши и по Гейне эквивалентны, то в дальнейшем будем говорить просто, что функция f\colon E \to \mathbb {R} имеет предел в точке a, равный b. Если a — внутренняя точка множества E \cup \{ a\} , то пишут \lim \limits _{x\to a} f(x) = b (опуская указание на множество E).
Пример: Пусть a, b \in \mathbb {R}. Расписать на языке \varepsilon -\delta :
\lim \limits _{x\to +\infty } f(x) = b \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall x\ (x > \frac1\delta \Rightarrow |f(x) - b| < \varepsilon ).
\lim \limits _{x \to a} f(x) = -\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0\ \exists \delta > 0\ \forall x\ (0 < |x - a| < \delta \Rightarrow f(x) < -\frac1\varepsilon ).
Пример: Доказать, что \lim \limits _{x\to +\infty } \frac{\sin x}{x} = 0.
\blacktriangle \forall \varepsilon > 0\ \exists \delta = \varepsilon \ \forall x\ (x > \frac1\delta \Rightarrow \left|\frac{\sin x}x\right| \leqslant \frac1x < \varepsilon ) \Leftrightarrow \lim \limits _{x\to +\infty } \frac{\sin x}x = 0. \blacksquare