4.10. Классификация точек разрыва

Определение 4.23. Пусть функция $f\colon E\to \mathbb {R}$ определена в $B_\Delta '(a)\ (a\in \mathbb {R})$, т.е. $B_\Delta '(a) \subset E$.

1. Точка $a$ называется точкой устранимого разрыва функции $f$, если $\exists \lim \limits _{x\to a} f(x) \in \mathbb {R}$, а значение $f(a)$ или не существует, или не равно этому пределу.

2. Точка $a$ называется точкой разрыва I рода функции $f$, если существуют $f(a-0) \in \mathbb {R}$, $f(a+0)\in \mathbb {R}$, но $f(a-0) \not= f(a+0)$.

3. Точка $a$ называется точкой разрыва II рода функции $f$, если хотя бы один из односторонних пределов $f(a-0)$ и $f(a+0)$ не существует или бесконечен.

Примеры:

1. Пусть $f\colon \mathbb {R}\to \mathbb {R},\quad f(x) =\mathop {\mathrm{sign}} x = \begin{cases} 1, x > 0,\\0, x = 0,\\-1, x < 0. \end{cases}$

   Тогда $f(+0) = 1$ и $f(-0) = -1$. Следовательно, $x=0$ — точка разрыва I рода.

2. Пусть $g\colon \mathbb {R}\to \mathbb {R}$, $g(x) = \mathop {\mathrm{sign}}\nolimits^2 x$, тогда $x = 0$ — точка устранимого разрыва.

3. Пусть $h\colon \mathbb {R}\backslash \{ 0\} \to \mathbb {R},\quad h(x) = \frac1x$, тогда $x=0$ — точка разрыва II рода.

4. Функция Дирихле $D\colon \mathbb {R}\to \mathbb {R}$ имеет разрыв II рода в каждой точке.

Теорема 4.14 (о разрывах монотонной функции). Если $f\colon (a, b)\to \mathbb {R}$ монотонна на $(a, b), (a, b\in \overline{\mathbb {R}})$, то $f$ имеет разрывы только I рода, причём их не более чем счётное множество.

$\blacktriangle$ По следствию 1 из Т4.9 о пределах монотонной функции

$\forall x \in (a, b)\ \exists f(x+0), f(x-0) \in \mathbb {R}$, причём $f(x-0) \leqslant f(x) \leqslant f(x+0)$ или $f(x-0) \geqslant f(x) \geqslant f(x+0)$. Если $f(x+0) = f(x-0)$, то $f(x-0) = f(x) = f(x+0)$ и, следовательно, $f$ — непрерывна в точке $x$. Поэтому в точке разрыва $f(x-0) \not= f(x+0)$, так что $x$ — точка разрыва I рода.

В силу монотонности функции $f$ на $(a, b)$ интервалы с концами $f(x-0)$ и $f(x+0)$ для различных точек разрыва не пересекаются.

Поставим в соответствие каждому такому интервалу рациональное число, содержащееся в нём. Этим установим биекцию между множеством таких интервалов и подмножеством $\mathbb {Q}$. Любое подмножество $\mathbb {Q}$  не более чем счётно $\Rightarrow$  множество точек разрыва $f$ не более чем счётное множество. $\blacksquare$